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六安一中2024届高三年级第五次月考
数学试卷
时间:120分钟满分:150分
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则等于()
A.B.C.D.
2.已知复数是实数,则()
A.0B.-1C.2D.-2
3.已知双曲线方程为,则“”是“双曲线离心率为2”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若,,则的值为()
A.B.C.0D.
5.已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
6.椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆:,这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆上总存在点,使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线,则的取值范围是()
A.B.C.D.
7.各棱长均相等的三棱柱,平面,是的中点,点是内动点,记二面角的平面角分别为.当点到点的距离和到直线的距离相等时,则()
A.B.C.D.
8.双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,,经过右焦点垂直于的直线分别交,于,两点.已知、、成等差数列,且与反向.则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.已知、、是三条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列说法正确的是()
A.若,,则
B若,,,则
C.若,,则
D.若、是异面直线,,,且,则
10.已知椭圆与双曲线有公共的焦点,,记与的离心率分别为,,在第一象限的交点为P,下列结论中正确的是()
A.若,则B.若,则
C若,则D.若,则
11.已知数列满足,,,则()
A.当且时,是等比数列
B.当时,等比数列
C.当时,是等差数列
D.当且时,是等比数列
12.2021年3月30日,小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo(如图所示),设计师的灵感来源于曲线.当时,下列关于曲线的判断正确的有()
A.曲线关于轴和轴对称
B.曲线所围成封闭图形的面积小于8
C.设,直线交曲线于两点,则的周长小于8
D.曲线上的点到原点的距离的最大值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.平面向量与的夹角为,,,则__________.
14.抛物线的焦点为,且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A,若轴,则________.
15.如图,将绘有函数
部分图象的纸片沿轴折成直二面角,此时之间的距离为,则=_____________.
16.已知点、关于坐标原点对称,,以为圆心的圆过、两点,且与直线相切.若存在定点,使得当运动时,为定值,则点的坐标为_______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.
(1)求角B;
(2)若,,D为AC边的中点,求的面积.
18.己知双曲线的一条渐近线为,其虚轴长为为双曲线上任意一点.
(1)求证:到两条渐近线的距离之积为定值,并求出此定值;
(2)若双曲线的左顶点为,右焦点为,求的最小值.
19.记数列的前项和为,已知.
(1)设,证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设,求数列前项和.
20.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,M,N分别为的中点,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21.在直角坐标系中,抛物线与直线交于两点.
(1)若点的横坐标为4,求抛物线在点处的切线方程;
(2)探究轴上是否存在点,使得当变动时,总有?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
22.已知椭圆的焦距为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为,点为椭圆上异于的两点,记直线的斜率分别为,且.
①求证:直线经过定点;
②设和的面积分别为,求的最大值.
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