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第八章应力与应变状态分析§8—1应力状态概述§8－2平面应力状态分析——解析法§8－3平面应力状态分析——图解法§8－4梁的主应力及其主应力迹线§8－5三向应力状态研究§8－6平面应力状态下的应变分析§8－7复杂应力状态下的应力--应变关系§8－8复杂应力状态下的变形比能小结2

§8—1应力状态概述一、基本概念：F铸铁拉伸铸铁压缩F铸铁F铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？3

F组合变形杆将怎样破坏？σmax？τmax？Ｍ1、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。2、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。3、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。4、研究方法：取单元体。4

单元体的概念：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体上应力的性质：每个面上的应力均布，每对相平行面上的应力大小、性质完全相同。σαFFAτα5、主平面：剪应力等于零的面。6、主应力：主平面上的应力（正应力）。7、主单元体：由主平面组成的单元体。主应力排列规定：按代数值由大到小。5

1010σ1=50MPa；σ2=10MPa；σ3=-30MPa。σ1=10MPa；σ2=0MPa；303050σ3=-30MPa。单位：MPa8、画原始单元体：例：画出下列图中的a、b、c点的已知单元体。FFaa6

yybbxxCＭzzbσxFbCL7

ybＭb?x?xxcＭ0z二、应力状态的分类：1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。2、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。8

平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。9

§8－2平面应力状态分析——解析法一、任意斜面上的应力计算?y?x?xy10

?y?xn?xyt图1设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：11

考虑剪应力互等和三角变换，得：——任意α斜面应力的计算公式12

规律：注意：用公式计算时代入相应的正负号符号规定：?、“?”正负号同“?”；??、“t”正负号同“t”；??、“?”为斜面的外法线与Χ轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）1、σ的极值及所在平面（主应力，主平面）13

——主平面的位置——主应力的大小最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0”表示。简易判断规律：由τ的方向判断。α0α014

2、τ的极值及所在平面——最大剪应力所在的位置——xy面内的最大剪应力——整个单元体内的最大剪应力最大剪应力与X轴的夹角规定为“α1”15

例：如图所示单元体，求主应力及主平面。解：1、主应力σ3?xy450σ1?yx202、主平面30单位：MPaσσσ？161、2、3

例：如图所示单元体，求α斜面的应力及主应力、主平面。解：1、α斜面的应力605040300（单位：MPa）17

2、主应力、主平面σ1=80.7（MPa）；σ2=0；σ3=-60.7（MPa）。σ160α040σ3506050σ1；σ2；σ3？9040（单位：MPa）18

§8－3平面应力状态分析——图解法一、基本原理：对上述方程消参（2?），得：——应力圆方程（莫尔圆）圆心：半径：19

二、应力圆的绘制：1、取直角坐标系σοτ。2、取比例尺（严格按比例做图）。3、找点4、连交σ轴于C点，以C为圆心，CD为半径画圆——应力圆。tD?B2oB1D/20

t三、证明：DA2B2?A1oB1D/既圆心：既半径：21

tE四、计算：1、D2α2α0?以D为基点，转2α的圆心角B2A1A2o至E点，转向同单元体上的B1方向。D/2、主应力3、主平面以D为基点，转到A1点，其圆心角为2α，逆时针时α为“＋”；顺时针00时22α为“－”。（α——主平面的位

4、剪应力的极值及所在位置G12α1tD以D为基点，转到G点，A2B21?A1其圆心角为2α。oB11由应力圆可证明——最大正应力与最大剪应力所在平面相差450D/G223

证明：（2α角的关系）tED2αA2B22α0?A1oFB1D/证毕24

五、注意1、应力圆上的点与单元体上的面相对应，点的坐标即为单元体面上的应力值。2、应力圆上两点对应的圆心角为“2α”，单元体上两面的夹角“α”，且两者转向相同。25

例：求