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第八章应力与应变状态分析§8—1应力状态概述§8-2平面应力状态分析——解析法§8-3平面应力状态分析——图解法§8-4梁的主应力及其主应力迹线§8-5三向应力状态研究§8-6平面应力状态下的应变分析§8-7复杂应力状态下的应力--应变关系§8-8复杂应力状态下的变形比能小结2
§8—1应力状态概述一、基本概念:F铸铁拉伸铸铁压缩F铸铁F铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的?3
F组合变形杆将怎样破坏?σmax?τmax?M1、应力状态:构件内任意一点处取一单元体,单元体上的应力。2、一点处应力状态:构件内通过一点各个方向的应力的总称。3、研究的目的:找出一点处沿不同方向应力的变化规律,确定出最大应力,从而全面考虑构件破坏的原因,建立适当的强度条件。4、研究方法:取单元体。4
单元体的概念:构件内的点的代表物,是包围被研究点的无限小的几何体,常用的是正六面体。单元体上应力的性质:每个面上的应力均布,每对相平行面上的应力大小、性质完全相同。σαFFAτα5、主平面:剪应力等于零的面。6、主应力:主平面上的应力(正应力)。7、主单元体:由主平面组成的单元体。主应力排列规定:按代数值由大到小。5
1010σ1=50MPa;σ2=10MPa;σ3=-30MPa。σ1=10MPa;σ2=0MPa;303050σ3=-30MPa。单位:MPa8、画原始单元体:例:画出下列图中的a、b、c点的已知单元体。FFaa6
yybbxxCMzzbσxFbCL7
ybMb?x?xxcM0z二、应力状态的分类:1、单向应力状态:只有一个主应力不等于零,另两个主应力都等于零的应力状态。2、二向应力状态:有两个主应力不等于零,另一个主应力等于零的应力状态。3、三向应力状态:三向主应力都不等于零的应力状态。8
平面应力状态:单向应力状态和二向应力状态的总称。空间应力状态:三向应力状态简单应力状态:单向应力状态。复杂应力状态:二向应力状态和三向应力状态的总称。纯剪切应力状态:单元体上只存在剪应力无正应力。9
§8-2平面应力状态分析——解析法一、任意斜面上的应力计算?y?x?xy10
?y?xn?xyt图1设:斜截面面积为dA,由分离体平衡得:11
考虑剪应力互等和三角变换,得:——任意α斜面应力的计算公式12
规律:注意:用公式计算时代入相应的正负号符号规定:?、“?”正负号同“?”;??、“t”正负号同“t”;??、“?”为斜面的外法线与Χ轴正向的夹角,逆时针为正,顺时针为负。二、σ、τ的极值及所在平面(主应力,主平面)1、σ的极值及所在平面(主应力,主平面)13
——主平面的位置——主应力的大小最大正应力(σmax)与X轴的夹角规定用“α0”表示。简易判断规律:由τ的方向判断。α0α014
2、τ的极值及所在平面——最大剪应力所在的位置——xy面内的最大剪应力——整个单元体内的最大剪应力最大剪应力与X轴的夹角规定为“α1”15
例:如图所示单元体,求主应力及主平面。解:1、主应力σ3?xy450σ1?yx202、主平面30单位:MPaσσσ?161、2、3
例:如图所示单元体,求α斜面的应力及主应力、主平面。解:1、α斜面的应力605040300(单位:MPa)17
2、主应力、主平面σ1=80.7(MPa);σ2=0;σ3=-60.7(MPa)。σ160α040σ3506050σ1;σ2;σ3?9040(单位:MPa)18
§8-3平面应力状态分析——图解法一、基本原理:对上述方程消参(2?),得:——应力圆方程(莫尔圆)圆心:半径:19
二、应力圆的绘制:1、取直角坐标系σοτ。2、取比例尺(严格按比例做图)。3、找点4、连交σ轴于C点,以C为圆心,CD为半径画圆——应力圆。tD?B2oB1D/20
t三、证明:DA2B2?A1oB1D/既圆心:既半径:21
tE四、计算:1、D2α2α0?以D为基点,转2α的圆心角B2A1A2o至E点,转向同单元体上的B1方向。D/2、主应力3、主平面以D为基点,转到A1点,其圆心角为2α,逆时针时α为“+”;顺时针00时22α为“-”。(α——主平面的位
4、剪应力的极值及所在位置G12α1tD以D为基点,转到G点,A2B21?A1其圆心角为2α。oB11由应力圆可证明——最大正应力与最大剪应力所在平面相差450D/G223
证明:(2α角的关系)tED2αA2B22α0?A1oFB1D/证毕24
五、注意1、应力圆上的点与单元体上的面相对应,点的坐标即为单元体面上的应力值。2、应力圆上两点对应的圆心角为“2α”,单元体上两面的夹角“α”,且两者转向相同。25
例:求
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