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广东省广州市白云区2023-2024学年高一下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在中，，则（????）

A． B．

C． D．

2．下列的表述中，正确的是（????）

A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直

B．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行

C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直

D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行

3．若两个非零向量的夹角为，且满足，则（????）

A． B． C． D．

4．有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（????）

A．数据的标准差不小于数据的标准差

B．数据的中位数与数据的中位数相等

C．若数据的方差为m，则数据的方差为

D．若数据的极差为d，则数据的极差为

5．为了得到的图象，只需把图象上所有的点（????）

A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变

B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变

C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变

D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变

6．已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

7．设，，且，则（????）

A． B． C． D．

8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（????）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

二、多选题

9．已知向量，则下列说法中正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是

10．已知复数，则下列说法中正确的是（????）

A． B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．在正三棱柱中，已知动点P满足，，且，则下列说法中正确的是（????）

A．若，则三棱锥的体积是定值

B．若，则三棱锥的体积是定值

C．若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的

D．若，则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是

三、填空题

12．已知复数z满足，则．

13．某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：

课后阅读时长平均数（小时）

方差

男生组

25

1

女生组

26

1.1

则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为小时，方差为．

14．己知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为．

四、解答题

15．如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点．

(1)求证：直线平面；

(2)求点A到平面的距离．

16．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：

分组

频数

频率

10

0.1

x

0.15

20

0.2

30

y

15

0.15

5

0.05

5

0.05

合计

100

1.00

(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；

(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；

(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．

17．已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．

(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；

(2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．

18．在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，M是PD的中点，且与平面所成角的正弦值为．

(1)求证：平面；

(2)求直线与直线所成角的余弦值；

(3)求平面与平面所成二面角的正弦值．

19．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．

(1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形