高中数学方法原本（1-12章合本）.pdfVIP

第一章：不等式系统方法论

众所周知,古希腊数学家如欧几里得和毕达格拉斯对线段和三角形关系的研究,为不等

.17,(Gustave-AdolpheHirn

式理论奠定了基础进入世纪法国数学家拉穆尔代数学

≤≥

)“”“”.18-19,

奠基人之一首次引入了不等符号和而在世纪不等式理论得到了突破性的发

展,数学家拉格朗日和欧拉都对其进行了深入的研究,而微积分的发展则推动了我们对不等

式更深刻的理解(例如柯西一一施瓦茨不等式）.在现代，线性代数、函数分析和凸分析等

领域的发展使得不等式理论更为完善、抽象和广泛.

在高中阶段,不等式首次出现在人教A版教材《必修第一册》第二章中,它是整个高中

数学特别是高考数学的基础性、工具性知识点和必考点,我们必须能够熟练掌握并运用它.

本书将以不等式为基础深度探究不等式本身及其在函数、向量、数列、导数甚至是概

率版块的灵活运用一一因而本书是以不等式为基础性的通法和主线来铺开的在本章我们将.

以先易后难、循序渐进的方式对不等式展开系统、全面且有深度的研究力图使每位读者都,

能构建出以不等式为根基的高中数学思维及解题逻辑.

第01讲：基本不等式的进阶探究

22

结论1.1:基础不等式∀∈ℝ,+≥2（仅当=取等）.

2222

∀∈ℝ,+≥2||+≥−2

推论1.1:广义基础不等式或.

2222

例1.已知实数足++=5,则6−8+7的最大值为_______.

解析:显而易见的是

222222222

6−8+7≤9++8+2+7=9++=45

252452180

=3=−2

当且仅当、即=、=、=时上式取等故而目标函数最,

464646

大值为45.

22

推论1.2:基础不等式的变形在+≥2的基础上我们可得如下推论,

22

(i)0,≥2−,0,≥2−;

若则有同理若则有

2

(ii)若0,则有≥−;

4

21

(iii)若0,则有≥−.

2