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机械与结构振动

第6章弹性体的一维振动目录6.1杆的纵向振动6.2杆的纵向受迫振动6.3梁的横向自由振动6.4梁的横向受迫振动MechanicalandStructuralVibration

第6章弹性体的一维振动6.1杆的纵向振动MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.1等直杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型6.1.3主振型的正交性MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.1等直杆的纵向振动实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此，称之为弹性体系统。同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从虎克定律。由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度是相似的。MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.1等直杆的纵向振动均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，横截面积为A，材料的弹性模量为E,如图所示。设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截面保持为平面，并且不计横向变形。以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dxMechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.1等直杆的纵向振动以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx，其左端纵向位移为u(x)，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为dx段的变形为应变为应力为N是x处轴的内力MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.1等直杆的纵向振动微元段dx受力如图。根据牛顿第二定律得到EA是常数，可写成表示弹性波沿杆的纵向传播的速度这是杆作纵向受迫振动方程，常称为波动方程。MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型得到杆的纵向自由振动微分方程为系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有点都做简谐运动。杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即即为杆的主振动的一般形式。MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型振型函数振动规律代入杆有无穷多个自由度系统，振型不再是折线而变成一条连续曲线。当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，求解值p及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频率。2p2MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型解可表示为由杆的边界条件，可以确定p值及振型函数U(x)。2MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型1.杆两端固定的情况边界条件为即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为相应的主振型为MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型分别令i=1,2,3，可得系统的前三阶固有频率和相应的主振型为杆的前三阶主振型表示如图所示。MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型2.杆的左端固定，右端自由的情况边界条件为即为一端固定，一端自由杆的频率方程。解出固有频率为相应的主振型为MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型3.杆的两端都是自由的情况边界条件为即为两端自由杆的频率方程。解出固有频率为相应的主振型为当p=0时，对应了杆的刚体振型。MechanicalandStructuralVibration

6.1杆的纵向振动6.1.2固有频率和主振型例6-1一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，横截面积为A，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹簧常数为k的弹