西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案).docxVIP

西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知，则()

A.1 B. C.2 D.

2．若平面和直线a，b满足，，则a与b的位置关系一定是()

A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面

3．在中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若，，，则边()

A. B.或 C.或 D.

4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为()

A. B. C. D.5

5．已知向量，满足，，且，则()

A. B. C.2 D.1

6．在中，，，.D为的中点，P为上一点，且，则()

A. B. C. D.

7．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是()

A. B. C. D.

8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，，，则()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．若复数，为z的共轭复数，则以下正确的是()

A.z在复平面对应的点位于第二象限 B.

C. D.为纯虚数

10．已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，P是的中点，则()

A.圆锥的体积为

B.圆锥的侧面展开图的圆心角为

C.当为轴截面时，圆锥表面上点A到点P的最短距离为

D.面积的最大值为2

11．对非零向量，，定义运算“(*)”：，其中为与的夹角，则()

A.若，则

B.若，，则

C.若中，，，，则

D.若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形

三、填空题

12．已知平面向量，，若，则________.

13．如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为________.

14．费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为________.

四、解答题

15．如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，求异面直线与所成角的余弦值.

16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

(1)求A；

(2)若，，设D为延长线上一点，且，求线段的长.

17．如图，在正四棱锥中，，点M，N分别满足，.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

18．如图，已知三棱台的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)求点B到平面的距离；

(3)若P为BC的中点，Q为的中点，点F在侧面内，且平面APQ，当的面积最小时，求平面ACF与平面夹角的余弦值.

19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求C；

(2)若，，求边上的角平分线长；

(3)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.

参考答案

1．答案：D

解析：因为，所以.

故选：D

2．答案：D

解析：当时a与b相交，当时a与b异面.

故答案为D

3．答案：C

解析：因为，，，由余弦定理可得，

即，即，解得或.

故选：C.

4．答案：C

解析：由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形，如图所示，其中，，

所以.

故选：C.

5．答案：B

解析：因为，，所以，

又，所以，即，

所以，

则，解得（负值已舍去）.

故选：B

6．答案：A

解析：因为D为的中点，则，

因为P为上一点，设，

则

，

又、不共线，所以，解得，

所以，

所以

，即.

故选：A.

7．答案：C

解析：

设下底面端点A，B，C，及上底面对应端点，如图所示，

连接,和，由三垂线定理知，且，

又因为,面，面，

所以面.

对于C，因为，,，所以面面，

所以平面DEF.

A、B、D选项中面与面均不平行.

故选：C.

8．答案：A

解析：因为，又，

所以，又，所以，

所以，即，显然，所以，

因为，，

又，所以，

所以，由正弦定理可得，

又由余弦定理，即，

所以，则，

由余弦定理，

又，所以.

故选：A

9．答案：BD

解析：对于A，，复数z在复平面内对应的点为，

复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误；

对于B，根据复数模的公式，，则，

又，所以，故B正确；

对于C，因为则，又，故C错误；

对D，，，

所以为纯虚数，故D正确.

故选：BD.

10．答案：BCD

解析：对于A：因为，，所以圆锥的高，

所以圆锥的体积