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第九章：直线与圆系统方法论
在17世纪,法国数学家勒内⋅笛卡尔(RenéDescartes,1596年31650年2月)曾对古希腊人严重依赖
图形提出了严肃的批评,他认为在很多情况下代数在提供广泛的方法论方面高于欧几里得的几
何法,笛卡尔本人的中心思想就是代数理应与几何相结合.与笛卡尔同时期的另一位法国律师、
业余数学家皮埃尔.德费马（PierredeFermat，1601年8月1665年1月）也在自己的研究中独⋅
立地形成了用方程表示曲线的思想,因此,他们二位都被我们视为解析几何的创始人.
解析几何的创立为我们提供了研究几何问题的一种崭新方法,借助于坐标系,我们可以把几何问
题转化为代数问题来探究.这种方法的魅力在于它具有广泛性与一般性,它沟通了数学内部数与
形、代数与几何两大学科之间的联系,从根本上促进了数学的普及与飞速的发展.
我们在本章要研究的直线与圆就是上述解析几何重要的研究对象,是我们学好圆锥曲线的基础
甚至是决定性的知识点.
第01讲：向量视角下的直线方法论
通过对教材的学习我们当然可以非常熟练地掌握直线的倾斜角、斜率、直线的五种表达式、点
到直线的距离、两直线平行或垂直、两直线相交等非常基础的内容,本讲我们将以向量视角为
主重新审视以上几乎所有内容.
定义1.1:直线的方向向量与法向量与直线行的非零向量 称为直线的方向向量,与直线
直的非零向量称为直线的法向量,二者必须非零且并不唯一.
性质1.1:直线的方向向量与法向量公式若直线的一般式为
22
++=0+≠0
其方向向量之一为 =(−
其法向量之一为 =(
性质证明:设,∈,∈当直线斜率存在时有
111222
−
21
=−,−=−1,=−1,−
1221212121
2−1
−
21
=(−
=(−=0≠0 =
此时是直线的方向向量.而当直线的斜率不存在时有且,此时
++=0
(0,−亦是直线方向向量,综上 =(−这种形式皆是直线的方向向量
之一.又因
⋅ =(−⋅(=−=0
⊥ ⊥ =(
故而必有,继而有,由此证得是直线的法向量之一.综上性质得证.
推论1.1:直线方向向量若直线斜率存在且为则该直线的方向向量之一为
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