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第八章：数列系统方法论
数列的概念在17世纪得到了深化和发展,德国数学家威廉⋅莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz,
1646年7月1716年11月）和牛顿（1643年1月1727年3月）发现的微积分基本原理在一定
程度上涉及了无穷级数——这可以看作是一种特殊的数列.此后瑞士数学家欧拉对数列理论的
发展做出了杰出的贡献,他系统研究了无穷级数、斐波那契数列和调和级数等,并提出了许多著
名的数学公式,如
1
lim 1+=
∞
而在19世纪,法国数学家柯西和德国数学家卡尔.魏尔斯特拉斯（1815年10月1897年2月）
等人对数列的极限、连续性和收玫性进行了深入的研究，从而奠定了实分析的基础.
本章我们将以务实的态度系统探究高中阶段与数列相关的所有性质、结论及其运用,从而达到
探究其本质的目的.
第01讲：用迭代函数探究数列的本质
我们都知道按照一定次序排列的任意一列数皆可称为数列,数列中的每一个数称为这个数列的
项,而组成数列的数的个数称为数列的项数,习惯上我们把整个数列记为∈ℕ∗.顾名思
义,数列就是同数字打交道,就是要尽可能地发现数字之间的各种规律（尽管有些极难被发现）.
在高中阶段,要想真正掌握数列,我们必须具备以下基本素养.
命题1.1:一维分析论在总结数列规律时,我们不能拘泥于思维定势或惯性思维,而应立足已知
数据、规则本身,通过分奇偶项、求邻近几项之和、每一项添加一些数等来试探规律,总之要捤
弃简单思考一下就能轻松发现经典题型的数字规律的想法.换言之对高中数列而言,总结的本质
不在于总结本身,而是在接受已有规则的基础上深度的理性分析及复杂的推理演算.
例1.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文
化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是
中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其前10项依次是
0、2、4、8、12、18、24、32、40、50、⋯,则此数列第20项为＿＿＿＿
解析：依常规思维不难发现以下规律（为了体现规律其中4、12等重复）
0、2、4|4、8、12|12、18、24、⋯
两两间隔2两两间隔4两两间隔6
然而如果我们只专注于上述数列的偶数项,不难发现上述数列的偶数项遵循如下规律
222
2=2×1,8=2×2,18=2×3,⋯
由此我们知道此数列第20项理应为
2
2×10=200
∗222
例2.已知正整数,,⋯,满足当∈ℕ时,,且++⋯+≤2020,
12101210
则−+++的最大值为＿＿＿＿
91234
−++++++
解析:欲使取得最大值,应使
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