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安徽省滁州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集为，集合，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．已知向量，若，则（????）

A． B． C． D．1

3．已知正项等比数列单调递增，，则（????）

A．12 B．16 C．24 D．32

4．一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数（primenumber），质数又称素数，如等都是素数.数学上把相差为2的两个素数叫做孪生素数，如：3和5，5和.如果我们在不超过31的素数中随机选取两个不同的数，则这两个数是孪生素数的概率为（????）

A． B． C． D．

5．在中，，点在边上，且，则长为（????）

A． B．1 C． D．

6．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（????）

A．32 B．64 C．80 D．160

7．如图，正方体的棱长为1，点为棱的中点，空间中一点满足，则点的轨迹截正方体表面所得图形的周长为（????）

A． B． C． D．

8．双曲线的左?右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（????）

A． B． C．10 D．

二、多选题

9．若复数满足，则（????）

A．的实部为1 B．的虚部为

C． D．

10．已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（????）

A．的最小正周期

B．的图象关于对称

C．

D．函数在区间上所有零点之和为

11．如图，四棱锥中，面面，且，是棱的中点，，则（????）

A．平面

B．平面

C．和平面所成角的正弦值为

D．四面体外接球的表面积为

三、填空题

12．若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为.

参考数据：若随机变量，则，.

13．过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为.

14．已知函数满足，且恰有一个极值点，则的取值范围为.

四、解答题

15．已知公差不为0的等差数列，其前项和为.若，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

16．在如图所示的几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形为菱形，，平面平面.

(1)求三棱锥的体积；

(2)求平面和平面夹角的余弦值.

17．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021一2035年）》，《规划》提出，到2035年，纯电动汽车成为新销售车辆的主流，公共领域用车全面电动化，燃料电池汽车实现商业化应用，高度自动驾驶汽车实现规模化应用，有效促进节能减排水平和社会运行效率的提升.某市车企为了解消费者群体中购买不同汽车种类与性别的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了近期购车的90位车主，得到如下列联表：（单位：人）

性别

购车种类

合计

新能源汽车

燃油汽车

男

20

40

60

女

20

10

30

合计

40

50

90

(1)试根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；

(2)以上述统计结果的频率估计概率，设事件“购车为新能源汽车”，“购车车主为男性”.

①计算；

②从该市近期购车男性中随机抽取2人?女性中随机抽取1人，设这三人中购买新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望.

附：参考公式：.

参考数据：

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

18．已知函数.

(1)当时，求的最大值；

(2)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围.

19．已知椭圆的短轴长为2，且右焦点与抛物线的焦点重合.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线与椭圆相交于两点，，其中为坐标原点.

①求与的关系式；

②为线段中点，射线与椭圆相交于点，记四边形的面积与的面积之比为，求实数的取值范围.

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参考答案：

1．B

【分析】解一元一次不等式求得集合，由此求得.

【详解】，解得：，

所以，所以，

所以.

故选：B

2．C

【分析】根据数量积的坐标运算得，然后利用二倍角公式计算即可.

【详解】因为向量