第7章 第6课时　空间向量的运算及其应用-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

第课时空间向量的运算及其应用

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考试要求．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空

间向量的正交分解及其坐标表示.2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌

握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂

直.3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关

线面位置关系的一些简单定理．

1．空间向量及其有关定理

概念语言描述

共线向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

(平行向量)

共面向量平行于同一个平面的向量

共线向量

对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ，使a＝λb

定理

abpab⇔

共面向量如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面存在唯

(xy)pxayb

定理一的有序实数对，，使＝＋

abcp

空间向量如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在

(xyz)pxaybzc

基本定理唯一的有序实数组，，，使得＝＋＋．

2．空间向量的数量积

abab|a||b|cos_ab

非零向量，的数量积·＝〈，〉．

3．空间向量的坐标表示及其应用

a(aaa)b(bbb)

设＝，，，＝，，．

123123

向量和a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)

112233

向量差a－b＝(a－b，a－b，a－b)

112233

λa(λaλaλa)λR

数乘向量＝，，，∈

123

数量积a·b＝ab＋ab＋ab

112233

共线a∥b⇔a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R，b≠0)

112233

ab⇔ab0⇔ababab0

垂直⊥·＝＋＋＝

112233

222

模|a|＝·++

123

·++

cos〈a，b〉＝＝112233

夹角公式222222

++++