微分方程的稳定性模型概要课件.pptVIP

在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。下面，我们将研究几个与稳定性有关的问题。

稳定性模型的特点?对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。?不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。

目录6.1捕鱼业的持续收获6.2军备竞赛6.3种群的相互竞争6.4种群的相互依存6.5种群的弱肉强食

6.1捕鱼业的持续收获背景?资源分为再生资源（林业、渔业等）和非再生资源（矿业等）。?再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。

实考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定际规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔问场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。题希望建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大？?在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。问题及分析?如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。

产量模型x(t)~渔场鱼量假设?无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律r~固有增长率,N~最大鱼量?单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比h(x)=Ex,E~捕捞强度建模捕捞情况下渔场鱼量满足?不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件

实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。

一阶常微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分非线性方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x~微分方程的平衡点(或奇0方程(1)的解.设x(t)是方程的解，若从x某邻域的任一初值出发，0都有称x是方程(1)的稳定平衡点0

不求x(t),判断x稳定性的方法——直接法0由于讨论方程(1)的稳定性时，可用来代替.即(1)的近似线性方程易知x也是方程(2)的平衡点.(2)的通解为0关于x是否稳定有以下结论：0

产量模型平衡点平衡点分别对应微分方程的两个特殊解。稳定性判断E~捕捞强度r~固有增长率x稳定,可得到稳定产量x稳定,渔场干枯01

在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大产量模型图解法yy=rxy=E*xy=h(x)=Exy=f(x)P*hmPhf与h交点P0x0xx0*=N/2NP的纵坐标h~产量P的横坐标x~平衡点0产量最大控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.效益模型?鱼销售价格p?单位捕捞强度费用c收入T=ph(x)=pEx支出S=cE假设单位时间利润稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量

?封闭式捕捞追求利润R(E)最大?开放式捕捞只求利润R(E)0捕捞过度令=0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)E=2ERs临界强度下的渔场鱼量S(E)T(E)0EEErE*R捕捞过度s

6.2军备竞赛目的?描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程?解释(预测)双方军备竞赛的结局1）由于相互不信任，一方军备越大，另一假设方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数

建模x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量?,?~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的结局t??时的x(t)，y(t)常微分方程组的平衡点及其稳定性

线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P(x,y)=(0,0)~代数方程的根000若从P某邻域的任一初值出发，都有0称P是微分方程的稳定平衡点0记系数矩阵特征方程特征根

线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P(0,0)0微分方程一般解形式?1,2为负数或有负实部平衡点P(0,0)稳定p0且q0p0或q00平衡点P(0,0)不稳定0

军备竞赛模型平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x,y)稳定的条件00

模型的定性解释模型平衡点?,?~本方经济实力的制约；k,l~