概率论与数理统计五章极限理论.pdfVIP

第五章极限定理

“概率论的认识论价值只有通过极限定理才能

被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率

论的基本概念的真正含义”

-Kolmogorov

§5.1大数定律

定义：设{X}是一随量序列,X是一随

n

量,若对任意0,都有

limP(|Xn−X|)1

n→

或limP(|Xn−X|)0

n→

则称Xn依概率收敛于X,简记为Xn⎯⎯→X.

P

定义：设{Xn}是一随量序列,若

n

1P

(X−EX)⎯⎯→0

ii

ni1

则称{Xn}服从大数定律。

定理（切大数定理）：设随量序列

{X}两两不相关，且存在常数C,使得

n

D(X)C(k=1,2,…),则{X}服从大数定律

kn

定理（大数定理）：设随量序列{X}

n

相互独立同分布，且具有数学期望E(X)=

k

μ(k=1,2,…),则

n

1

P

X⎯⎯→

k

nk1

伯努里大数定理：设n是n次独立重复试验中

A

A发生的次数。p是A在每次试验中发生的概

率，则

n

AP

⎯⎯→p

n

§5.2极限定理

定义：设{X}是一随量序列,分布函数为

n

F(x);X是一随量,分布函数为F(x)。若对

n

F(x)的任意连续点x,都有

F(x)→F(x)

n

X⎯⎯→X。

则称{X}依分布收敛于X,记为n