第8章 第9课时　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

第课时圆锥曲线中的定点、定值、定直

9

线问题

考点一定点问题

22

[1](2023)P(43)C−1(a0

典例·河北石家庄一模已知点，在双曲线：22＝＞，

b＞0)上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，

|PM||PN|4.

·＝

(1)求双曲线C的方程；

(2)lykxmCABPAPB

若直线：＝＋与双曲线交于不同的两点，，设直线，的斜

率分别为k，k，从下面两个条件中选一个，证明：直线l过定点．

12

①k＋k＝1；②kk＝1.

1212

169

[](1)P(43)−1.

解因为点，在双曲线上，所以22＝

33

过P作x轴的平行线y＝3，与y＝±x相交于M，N两点，记M，3，N−，3.

339169

4−4+16−2−2

所以·＝2＝a22＝a＝4，所以a＝2.

169

−1b3C−1.

代入22＝，可知＝，所以双曲线的方程为＝

43

(2)证明：选①：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A,B，

22

−=1，

设A(x，y)，B(x，y)，联立方程43

1122

=+

222

得(3－4k)x－8kmx－4m－12＝0，

2222

所以3－4k≠0，Δ＝(－8km)－4(3－4k)(－4m－12)＞0，

2