等差数列的前n项和公式 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式(2)

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学习目标

1.能选取合适的等差数列的前n项和公式解决问题．2.探求等差数列前n项和性质并能运用它们解决问题．

活动方案

例1在等差数列{an}中，(1)已知a3＝1，a5＝11，求an和S8；(2)已知a2＋a7＋a12＝24，求S13；(3)已知前4项和为25，最后4项和为63，前n项和为286，求项数n；(4)已知Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，求Sm＋n.活动一灵活运用等差数列前n项和公式

所以a1＝a3－2d＝1－10＝－9，所以an＝－9＋5(n－1)＝5n－14，(2)因为{an}是等差数列，所以a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，所以a2＋a7＋a12＝3a7＝24，即a7＝8，所以a1＋a13＝16，

(3)由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63.因为{an}是等差数列，所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，所以4(a1＋an)＝25＋63＝88，即a1＋an＝22.①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.因为m≠n，所以(m＋n)A＋B＝－1，所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．

例2已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存

在，请说明理由．活动二掌握等差数列前n项和的最值问题【解析】方法一：由an＋1－an＝－20，得an＋1an，所以{an}是递减数列．又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12可知，当n6时，an0；当n＝6时，an＝0；

当n6时，an0，所以S1S2…S5＝S6S7….也就是说，当n＝5或n＝6时，Sn最大．所以Sn的最大值为30.

求Sn最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方法或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n是正整数．

(1)在等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值；(2)在等差数列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值．【解析】(1)因为a1＝13，S3＝S11，＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以当n＝7时，Sn取得最大值49.

(2)因为d0，所以－a3＝a9，所以a1＝－5d.所以当n＝5或n＝6时，Sn取得最小值，最小值为S5＝S6＝－15d.

例3在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．活动三探求等差数列前n项和的性质

【解析】由题意知a1＋a2＋…＋a10＝310，①a11＋a12＋…＋a20＝910.②设S＝a21＋a22＋…＋a30，③因为{an}是等差数列，所以由②－①，得10d＋10d＋…＋10d＝600，由③－②，得10d＋10d＋…＋10d＝S－910，所以S－910＝600，所以S＝1510，即第21项到第30项的和为1510.

例4有一等差数列共有2n(n∈N*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，若最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数．

思考???(1)在等差数列中，当项数为2n时(n∈N*)，奇数项和与偶数项和之间有什么关系？(2)若一个等差数列共有2n＋1(n∈N*)项，其奇数项和与偶数项和有什么关系？

(3)设Tn＝(7n＋2)k，Sn＝(n＋3)k，k≠0，所以a5＝T5－T4＝37k－30k＝7k，b6＝S6－S5＝9k－8k＝k，

检测反馈

1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S673＝2，S1346＝12，则S2019等于

()A.22 B.26C.30 D.3413524【解析】由等差数列的前n项和性质知S673，S1346－S673，S2019－S1346成等差数列，所以由等差中项的性质，得2(S1346－S673)＝S673＋S2019－

S1346.又S673＝2，S1346＝12，所以S2019＝3(S1346－S673)＝30.C

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3.(多选)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S6，S6＝S7S8，则下列结论中正确的是()A.d0 B.a7＝0C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值31245【解