等差数列的概念高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

第四章

数列;内容索引;学习目标;;活动方案;例1某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．;【解析】设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．

由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)．

由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．

因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.

解这个不等式组，得19d≤20.9，

所以d的取值范围为(19,20.9]．;先把实际问题转化为数学问题，用所学的数学知识解决此数学问题，最后回归到实际问题中去，从而实际问题得到解决．;某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？;【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－

an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，

所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.

若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，

由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，

即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．;例2已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由．;【解析】(1)设数列{bn}的公差为d′.

由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，

于是b5－b1＝a2－a1＝8.

因为b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，

所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n，

所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n.

(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3.

令4n－3＝29，解得n＝8，

所以b29是数列{an}的第8项???;已知等差数列{an}：3,7,11,15，….

(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？请说明理由；

(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？请说明理由．;【解析】a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.

(1)令an＝4n－1＝135，解得n＝34，

所以135是数列{an}中的第34项．

令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*，

所以4m＋19是数列{an}中的第m＋5项．;(2)因为ap，aq是数列{an}中的项，

所以ap＝4p－1，aq＝4q－1，

所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，

其中2p＋3q－1∈N*，

所以2ap＋3aq是数列{an}中的第2p＋3q－1项．;探究1在等差数列{an}中，公差为d，则am与an有何关系？;例3在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.;探究2在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的新数列有何特征？若从第1项起，相隔3项抽取数列中的项，所构成的新数列又有何特征？若构造新数列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，则所得数列又有何特征？;例4已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.

求证：ap＋aq＝as＋at.;【解析】设数列{an}的公差为d，

则ap＝a1＋(p－1)d，

aq＝a1＋(q－1)d，

as＝a1＋(s－1)d，

at＝a1＋(t－1)d，

所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，

as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d.

因为p＋q＝s＋t，

所以ap＋aq＝as＋at.;在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8，a6＋a7的值．;

;在等差数列{an}中，m，n，p，q∈N*.

(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；

(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；

(3)当公差不为0时，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.;检测反馈;

;2.已知等差数列