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第四章
数列;内容索引;学习目标;;活动方案;例1某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.;【解析】设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an}.
由已知条件,得an=an-1-d(n≥2).
由于d是与n无关的常数,所以数列{an}是一个公差为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1=220-d,于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd.
解这个不等式组,得19d≤20.9,
所以d的取值范围为(19,20.9].;先把实际问题转化为数学问题,用所学的数学知识解决此数学问题,最后回归到实际问题中去,从而实际问题得到解决.;某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?;【解析】由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-
an-1=-20(n≥2,n∈N*),每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,
由an=-20n+220<0,解得n>11,
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.;例2已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,请说明理由.;【解析】(1)设数列{bn}的公差为d′.
由题意可知,b1=a1,b5=a2,
于是b5-b1=a2-a1=8.
因为b5-b1=4d′,所以4d′=8,所以d′=2,
所以bn=2+(n-1)×2=2n,
所以数列{bn}的通项公式是bn=2n.
(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13,…项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列{cn},则cn=4n-3.
令4n-3=29,解得n=8,
所以b29是数列{an}的第8项???;已知等差数列{an}:3,7,11,15,….
(1)135,4m+19(m∈N*)是{an}中的项吗?请说明理由;
(2)若ap,aq(p,q∈N*)是数列{an}中的项,则2ap+3aq是数列{an}中的项吗?请说明理由.;【解析】a1=3,d=4,an=a1+(n-1)d=4n-1.
(1)令an=4n-1=135,解得n=34,
所以135是数列{an}中的第34项.
令an=4n-1=4m+19,则n=m+5∈N*,
所以4m+19是数列{an}中的第m+5项.;(2)因为ap,aq是数列{an}中的项,
所以ap=4p-1,aq=4q-1,
所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,
其中2p+3q-1∈N*,
所以2ap+3aq是数列{an}中的第2p+3q-1项.;探究1在等差数列{an}中,公差为d,则am与an有何关系?;例3在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.;探究2在等差数列{an}中,若依次抽取数列中的偶数项,所构成的新数列有何特征?若从第1项起,相隔3项抽取数列中的项,所构成的新数列又有何特征?若构造新数列:a1+a2,a3+a4,a5+a6,…,则所得数列又有何特征?;例4已知数列{an}是等差数列,p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t.
求证:ap+aq=as+at.;【解析】设数列{an}的公差为d,
则ap=a1+(p-1)d,
aq=a1+(q-1)d,
as=a1+(s-1)d,
at=a1+(t-1)d,
所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d,
as+at=2a1+(s+t-2)d.
因为p+q=s+t,
所以ap+aq=as+at.;在等差数列{an}中,若a2+a3+a10+a11=36,求a5+a8,a6+a7的值.;
;在等差数列{an}中,m,n,p,q∈N*.
(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
(2)若m+n=2p,则am+an=2ap;
(3)当公差不为0时,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.;检测反馈;
;2.已知等差数列
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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