习题课-曲线面积积分的计算.ppt

习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束线面积分的计算第十章

一、曲线积分的计算法1.根本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动目录上页下页返回结束

计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=说明:假设用参数方程计算,那么机动目录上页下页返回结束

计算其中L为摆线上对应t从0到2?的一段弧.提示:机动目录上页下页返回结束

计算其中?由平面y=z截球面提示:因在?上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.机动目录上页下页返回结束

(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.根本技巧机动目录上页下页返回结束

例1.计算其中?为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(?的重心在原点)机动目录上页下页返回结束

例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令那么这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.机动目录上页下页返回结束

解法2它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)假设L同例2,如何计算下述积分:(1)假设L改为顺时针方向,如何计算下述积分:那么添加辅助线段机动目录上页下页返回结束

思考题解答:(1)(2)机动目录上页下页返回结束

计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.练习题:机动目录上页下页返回结束

设在右半平面x0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F沿右半平面内任意有向路径L所作的功为机动目录上页下页返回结束

求力沿有向闭曲线?所作的功,其中?为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三提示:方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,机动目录上页下页返回结束

设三角形区域为?,方向向上,那么方法2利用斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束

二、曲面积分的计算法1.根本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面机动目录上页下页返回结束

思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问以下等式是否成立?不对!对坐标的积分与?的侧有关机动目录上页下页返回结束

2.根本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化机动目录上页下页返回结束

练习:其中?为半球面的上侧.且取下侧,提示:以半球底面原式=记半球域为?,高斯公式有计算为辅助面,利用机动目录上页下页返回结束

例3.证明:设(常向量)那么单位外法向向量,试证设?为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为?的机动目录上页下页返回结束

例4.计算曲面积分其中,解:思考:此题?改为椭球面时,应如何计算?提示:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.机动目录上页下页返回结束

例5.设?是曲面解:取足够小的正数?,作曲面取下侧使其包在?内,为xoy平面上夹于之间的局部,且取下侧,取上侧,计算那么机动目录上页下页返回结束

第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得机动目录上页下页返回结束

例6.计算曲面积分中?是球面解:利用对称性用重心公