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福建省福州市九县（市、区）一中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数满足，则为（）

A．16 B．25

C．4 D．5

2．已知向量，，则（）

A．0 B．1

C．-1 D．-3

3．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

4．从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数，则的概率为（）

A． B．

C． D．

5．《九章算术》中将正四梭台（上?下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（）

A． B．

C． D．

6．函数的大致图象为（????）

A． B．

C． D．

7．如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（）

A．6km B．km

C．km D．7km

8．在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（）

A．是偶函数

B．的对称轴是

C．在区间上单调递减

D．的最小值是

10．在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，则（????）

A．甲与丙为互斥事件 B．乙与丁相互独立

C．丙与丁相互独立 D．甲乙乙丙）

11．已知棱长为2m的正方体中，下列结论中正确的是（）

A．若点P在线段上运动，异面直线AP与所成的角范围为

B．若点在线段上运动，的最小值

C．若将正方体视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器

D．若点P在的内部及边界上运动，且m,则动点P的轨迹长为m

三、填空题

12．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为.

13．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为．

14．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为.

四、解答题

15．在中，.

(1)求；

(2)若为边的中点，且，求的值.

16．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求的值.

17．2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节.现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．

(1)求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数；

(2)已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为64和20，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为82和50，求样本中这两组面试成绩的方差；

(3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．

18．如图，直三棱柱中，，，点是中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的