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课时规范练66概率与统计综合问题
1.(2024新高考Ⅱ,19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口数的16%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).
2.(2024山东烟台二模)某商家确定借助线上平台开展销售活动.现有甲、乙两个平台供选择,且当每件商品的售价为a(300≤a≤500)元时,从该商品在两个平台全部销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下:
商品日销售量(单位:件)
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等,且每天的销售量互不影响.
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率,并计算“从甲平台全部销售数据中随机抽取3天的日销售量,其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率;
(2)已知甲平台的收费方案为:每天佣金60元,且每销售一件商品,平台收费30元;乙平台的收费方案为:每天不收取佣金,但采纳分段收费,即每天销售商品不超过8件的部分,每件收费40元,超过8件的部分,每件收费35元.某商家确定在两个平台中选择一个长期合作,从日销售收入(单价×日销售量-平台费用)的期望值较大的角度,你认为该商家应如何决策?说明理由.
3.(2024新高考Ⅰ,20改编)一医疗团队为探讨某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为比照组),得到如下数据:
分组
卫生习惯
不够良好
良好
病例组
40
60
比照组
10
90
(1)依据小概率值α=0.010的独立性检验,分析患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异.
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事务“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事务“选到的人患有该疾病”,P(B|
①证明:R=P(
②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.
附:χ2=n(
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
4.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有20000名学生参与了预赛,现从参与预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成果作为样本,得到如下的统计数据.
得分(百分制)
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
人数
10
20
30
25
15
(1)规定预赛成果不低于80分为优良,若从样本中预赛成果不低于60分的学生中随机抽取2人,求恰有1人预赛成果优良的概率.
(2)由样本数据分析可知,该市参与预赛的全体学生的预赛成果Z听从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成果的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=361.利用该正态分布,估计该市参与预赛的全体学生中预赛成果高于72分的人数.
(3)预赛成果不低于91分的学生将参与复赛,复赛规则如下:
①参与复赛的学生的初始分都设置为100分;
②参与复赛的学生可在答题前自己确定答题数量n,每一题都须要“花”掉肯定分数来获得答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);
③每答对一题得2分,答错得0分;
④答完n道题后参与复赛学生的最终分数即为复赛成果.
已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他的复赛成果的期望值最大?
参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
课时规范练66概率与统计综合问题
1.解(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).
(2)由题图,得这100位这种疾病患者中年龄位于区间[20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.
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