2025年-数学第九课.pptx

一、线性变换与基;定理1设为线性空间V的一组基，;基向量的象可以被基线性表出,设;

其中;单位变换(恒等变换)：;零变换：;由数k决定的数乘变换：;例3.设为n维线性空间V的;9;2．线性变换运算与矩阵运算;注：;线性空间上的所有线性变换构成的集合，;设线性变换在基下的矩阵为A,即;由于线性无关，所以;3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象;下的矩阵分别为A、B，;4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系;例3.设为线性空间V一组基，线性变换在;线性变换在下的矩阵为;解：（1）由定理4，在基下的矩阵;三、相似矩阵;（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：;（2）;（3）相似矩阵的运算性质;一、特征值与特征向量;从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当;设为数域P上线性空间V的一组基，;设是数域P上线性空间V的一个线性变换，;29;例2数域P上的线性空间;;设线性变换在基下的矩阵是;而;于是;即;解得;;;;;设是V的一组基，;又;于是;以上分析说明：;设是一个文字，矩阵称为;注：;②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,;;;解：A的特征多项式;;因此，属于5的一个线性无关的特征向量为;当l1=2时，对应的特征向量应满足;kp2（k≠0）就是特征值l2=4对应的所有特征向量．;解：A的特征多项式;当l1=?1时，因为

;当l2=l3=2时，因为;;的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的;四、特征多项式的有关性质;证:设则存在可逆矩阵X，使得;注：;设为A的特征多项式,;证:设是的伴随矩阵，;这里，都是的数字矩阵.;证:设是的伴随矩阵，则;比较①、②两式，得;③;4.设为有限维线性空间V的线性变换，是;例3.设求;;练习1：已知为A的一个特征值，则;行列式＝.