第8章　高考研究在线8　探究“极点、极线”在高考圆锥曲线中的应用-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

“极点、极线”是圆锥曲线的一种基本特征，除了人教A版选择性必修第

PT

一册拓广探索研究了有关圆的切点弦方程外，中学数学教材中没有提及

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极点与极线的相关问题，事实上，以“极点、极线”为背景命制的试题屡见不鲜，

在复习备考中，适当了解一些该方面的知识，可以从“高观点下”看待高中圆锥

曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，快速准确解题.

探究点一极点、极线的定义与配极原则

定义：对于圆锥曲线C：

22

Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，B，C不全为零)．

已知点P(x，y)(非中心)及直线l：

00

Axx＋B00＋Cyy＋D0＋E0＋F＝0，则称点P(x，y)是直线l关于圆锥

0000

222

ClPC.

曲线的极点，直线称为点关于曲线的极线

配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共线．

从形式上看：直线的方程是在圆锥曲线方程中按照以下置换：l

2002

xxxxyyyy

→；→；→；

00

2

→x；→y.

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探究点二极点、极线的几何意义(以椭圆为例说明)

22

00

设点P(x，y)的极线l：+＝1，椭圆方程：+＝1(a＞b＞0)．

002222

①当点P(x，y)在椭圆上时，极线l是以点P为切点的切线．

00

证明如下：

22

2222

由y＝b1−2知，当y≥0时，y＝b1−2＝−.

∴以P(x，y)为切点的切线方程：

00

y＝－·(x－x)＋y.

200

00

整理得2+2＝1，

lP(xy)

即此时极线为过点，的切线．

00

②当点P在椭圆外时，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引切线的切点弦

所在直线．

证明如下：

11

l：+＝1，

PA22

22

l：+＝1.

PB22