第2章　高考研究在线2　高考试题中的抽象函数-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

抽象函数可以全面考查函数的概念和性质，新高考连续三年在此点命题，破

解此类问题的一般方法为赋值法、函数性质法和构造函数法．

命题点一与奇偶性、对称性相关的求值问题

2

[典例1](1)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝yf(x)

2

＋xf(y)，则()

A．f(0)＝0

B．f(1)＝0

Cf(x)

．是偶函数

Dx0f(x)

．＝为的极小值点

(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记

3

g(x)＝f′(x)．若f−2，g(2＋x)均为偶函数，则()

2

1

Af(0)0Bg−0

．＝．＝

2

C．f(－1)＝f(4)D．g(－1)＝g(2)

(1)ABC(2)BC[(1)xy0f(0)0Axy1f(1)

取＝＝，则＝，故正确；取＝＝，则

＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－

2

1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋xf(－1)，所以f(－x)＝f(x)，

f(x)Cf(0)0f(x)

所以函数为偶函数，故正确；由于＝，且函数为偶函数，所以

函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能

f(x)f(x)DABC.

为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故不正确．故选

3

(2)因为f−2，g(2＋x)均为偶函数，

2

33

所以f−2＝f+2，

22

33

即f−＝f+，g(2＋x)＝g(2－x)，

22

所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；

3

f(x)g(x)xx2g(x)f′(x)f(x)

函数，的图象分别关于直线＝，＝对称，又＝，且函数

2

3

可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，

2

所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，

所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，

13

所以g−＝g＝0，

22

g(1)g(1)