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课时规范练54定点与定值问题
1.已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点,点G为椭圆E的上顶点,AG·GB=8.点P为直线x=6上的动点,PA与椭圆E的另一交点为C,PB
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
2.已知动点P在x轴及其上方,且点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若点Q是直线y=x-4上随意一点,过点Q作点P的轨迹C的两切线QA,QB,其中A,B为切点,试证明直线AB恒过肯定点,并求出该点的坐标.
3.(2024山东临沂三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为32
(1)求C的方程;
(2)若动直线l与C恰有1个公共点,且与C的两条渐近线分别交于点M,N.求证:点M与点N的横坐标之积为定值.
4.(2024山东烟台三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,其左、右焦点分别为F1,F2,T为椭圆
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知A(0,1),过点0,12的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM,AN与x轴的交点分别为P,Q,证明:以PQ为直径的圆过定点.
5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线C右支上一动点P(x0,y0)到两条渐近线
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l是曲线C在点P(x0,y0)处的切线,且直线l分别交两条渐近线l1,l2于M,N两点,点O为坐标原点,证明:△MON的面积为定值,并求出该定值.
6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M,N在椭圆C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
课时规范练54定点与定值问题
1.(1)解由题可得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),
则AG=(a,1),GB=(a,-1).
由AG·GB=8,得a2-1=8,即
所以E的方程为x29+y2=
(2)证明设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).
若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题可知-3n3.
因为直线PA的方程为y=t9(x+
所以y1=t9(x1+3)
因为直线PB的方程为y=t3(x-
所以y2=t3(x2-
所以3y1(x2-3)=y2(x1+3).
因为x229+y2
所以27y1y2=-(x1+3)(x2+3),
即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0. ①
将x=my+n代入x29+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=
由题可知m2+9≠0,Δ0,
所以y1+y2=-2mnm2+9,y1y
代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2·(m2+9)=0.
解得n=-3(舍去)或n=32
故直线CD的方程为x=my+32
即直线CD过定点32
若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点32
综上,直线CD过定点32
2.解(1)设点P(x,y),则|PF|=|y|+1,
∵x2+(y-1)2=|y|+1,∴
∵y≥0,∴x2=4y,
∴点P的轨迹C的方程为x2=4y.
(2)∵y=14x2,∴y=12
设切点(x0,y0),则过该切点的切线的斜率为12x0
切线方程为y-y0=12x0(x-x0),y-y0=12x0x-12x02,y-y0=12
即x0x-2y-2y0=0.
设Q(t,t-4).切线过点Q,
有tx0-2y0-2(t-4)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程是tx1-2y1-2(t-4)=0与tx2-2y2-2(t-4)=0,
直线AB的方程是tx-2y-2(t-4)=0,
即t(x-2)+8-2y=0,
对随意实数t,直线AB恒过定点,定点坐标为(2,4).
3.(1)解易知点A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),
AF1=(-c+a,0),AF2
所以ca=
则b=c2
所以双曲线C的方程为x24-
(2)证明分以下两种状况探讨.
①当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=±2,此时点M,N的横坐标之积为22=4.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,k≠0,
由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合,即k≠±52
设点M(x1,y1),N(x2,y2),
联立y
可得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0,
则Δ=64k2m2+4(5-4k2)(4m2+20)=0,
可得4k2=m2+5.
∵k≠±52,∴m≠
不妨设点M,N分别为直线l与直线y=52x,y=-52
联立y=kx+m,y
联立y=kx+m,y
此时,x1x
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