2025年-数学第十五课.pptx

设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中;;定义：矩阵;则;①度量矩阵A是实对称矩阵.;④对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.;一、正交向量组;设Ｖ为欧氏空间，非零向量;维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组;②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基;(i)设;(ii);例把;是的正交基；;是正交基;定理1维欧氏空间中任一个正交向量组都能;;都可找到一组标准正交基使;按定理1证明中的方法，作向量;再设;Schmidt正交化过程:;例2.把;例2.把;再单位化;;例3.在中定义内积为;;;单位化;于是得的标准正交基;设与是维欧氏空间V中的;由公式（3），有;④对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.;则称A为正交矩阵.;2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵;4）为正交矩阵;一、欧氏空间的同构;一、欧氏空间的同构;例2.;;在中，;当且仅当时;在中，;例.在中定义内积为;例.在中定义内积为;1、若是欧氏空间V到V的同构映射，则也是;标准正交基，;①反身性；②对称性；③传递性.;③若分别是欧氏空间V到V、V到V的同构映射，;5、两个有限维欧氏空间V与V同构;一、一般欧氏空间中的正交变换;一、一般欧氏空间中的正交变换;即，;把(3)展开，左边=;下述命题是等价的：;证明2)与3)等价．;是V的标准正交基，;若线性变换将V的标准正交基;故是正交变换．;二、维欧氏空间中的正交变换性质;2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵;2.维欧氏空间V中的线性变换是正交变换;设为V的标准正交基，且;1）正交变换的逆变换是正交变换；;4.维欧氏空间中正交变换的分类：;例1、在欧氏空间中任取一组标准正交基;例2、设是欧氏空间中的一个单位向量，定义;1）记欧氏空间为V，;;将扩充成欧氏空间中的一组标准正交基;例3证明第二类正交变换一定有一个特征值为-1。;例4证明奇数维欧氏空间中的旋转一定有特征值为1。;一、正交子空间;一、欧氏空间中的正交子空间;注：;证明：设子空间两两正交，;定理10设U是线性空间V的一个子空间，;二、子空间的正交补;由定理1，它可扩充成V的一组正交基;再证唯一性.;②维欧氏空间V的子空间W满足:;例证明：如果是n维欧氏空间V的一个正交变换，;;称为在子空间W上的内射影.