微分方程组的消元法和首次积分法课件.pptVIP

常微分方程4.2、微分方程组的消元法和首次积分法这一节,我们介绍微分方程组的两种求解方法:消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时必需注意它们的局限性.南通大学

常微分方程一、微分方程组的消元法将一阶微分方程组：中的未知函数只保留一个，消去南通大学

常微分方程其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出其他未知函数.这种方法常用于对由二个或三个方程构成的常系数微分方程组的求解.例1求解方程组南通大学

常微分方程解保留，消去.由方程组的第二个方程解出，得（4.2.1）对上式两边关于求导，得（4.2.2）将（4.2.1）和（4.2.2）代入原方程组的第一个方程得南通大学

常微分方程这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为（4.2.3）将上式代入（4.2.1）得故原方程组的通解为南通大学

常微分方程其中是任意常数.注上面把（4.2.3）代入（4.2.1）经过求导，而没有经过求积分就求出了，若把（4.2.3）代入原方程组中的第一式，使得南通大学

常微分方程这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为（4.2.4）在（4.2.4）中出现了三个任意常数这与前面求得不一致，事实上，当把（4.2.4）及代入原方程组就发现，当且仅当时，（4.2.4）才可成为方程组的解，故（4.2.4）不是原方程组的通解，其中是一个多余的任意常数.因此为避免出现增解，南通大学

常微分方程在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方法来求其他的未知函数.例2求解方程组解将第一个方程求导得南通大学

常微分方程代入第二个方程得（4.2.5）此方程是不显含自变量t的可降阶的方程，设南通大学

常微分方程代入方程（）得即有（4.2.6）由，分离变量并积分得从而有南通大学

常微分方程对上式积分得或再由第一个方程得由（4.2.6）还可得从而有由第一方程得该组解包含在上面所得的南通大学

常微分方程通解中,故原方程组的通解为南通大学

常微分方程二微分算子与线性微分方程组这里介绍微分算子D及其用消元法解线性微分方程组的应用.设是定义在某区间I上的具有n阶连续导数的函数，微分算子D被定义为这里相应地定义算子多项式：南通大学

常微分方程由算子多项式L的定义可以看出L是线性算子.则例如设南通大学

常微分方程下面用微分算子的方法求解常系数线性微分方程组.设是四个线性微分算子多项式，且给定如下的线性微分方程组：南通大学

常微分方程（4.2.7）用算子作用第一个方程的两边，用算子作用第二个方程的两边，得（4.2.8）由上面的第二个方程减去第一个方程得南通大学

常微分方程（4.2.9）用算子表示的方程（）是一个仅依赖于变量的一个高阶微分方程，可以求出再利用（4.2.7）的任何一方程可把求解出来.例3求解方程组南通大学

常微分方程解设则由上面的方程得南通大学

常微分方程该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为（4.2.10）将（）代入原方程组的第一个方程中得该一阶线性非齐次微分方程通解为南通大学

常微分方程（4.2.11）将（4.2.10）和（4.2.11）代入原系统的第二个方程中得故原方程组的通解为南通大学

常微分方程注对例3，也可以用下面的方法求解南通大学

常微分方程三微分方程组的首次积分法首次积分法是将方程组经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式,积分此方程可以得到未知函数的组合形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分.例4求解方程组南通大学

常微分方程解将两个方程相加得以作为一个未知函数，并对上式积分得（4.2.12）方程（4.2.12）就是原方程组的一个首次积分，再将两个方程相减得南通大学

常微分方程以作为一个未知函数，对上式积分得（4.2.13）方程（4.2.13）是原微分方程组的另一个首次积分，由（4.2.12）和（4.2.13）可解出未知函数南通大学

常微分方程这里是任意常数，因此原方程组通解为例5求解方程组南通大学

常微分方程解把方程组中的第一个方程乘以第二个方程乘以然后两式相加得即有把看作未知函数，积分得南通大学

常微分方程由上式可得（4.2.14）再利用原方程可得即有由此得另一个首次积分南通大学

常微分方程（4.2.15）代入首次采用极坐标积分（4.2.14）和（4.2.15）得因此，原微分方程的通解为南通大学

常微分方程从上面两个例子可看出,利用首次积分可求出微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程组中未知函数以及方程的个数,为此,我们下面介绍首次积分的定义,并叙述有关的结论.南通大学

常微分方程考虑一般的阶微分方程组（4.2.16）在某个区域是连续的，且其中右端函数内对对是