第8章 第10课时　圆锥曲线中的范围、最值问题-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

第课时圆锥曲线中的范围、最值问题

10

考点一范围问题

22

[典例1]已知双曲线C：2−2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A(1，

0)PPFA|PO|2O

，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，＝，点为坐

标原点．

(1)C

求双曲线的标准方程；

(2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线l：y

kxm(km0)CMN|BM||BN|m

＝＋≠与双曲线相交于不同的两点，，若＝，求实数

的取值范围．

[思维流程]

[解](1)∵F(－c，0)，A(a，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，以PF为直

−

径的圆过点A，∴PA⊥AF.不妨取点P在y＝x上，设点P，＝

，＝(a＋c，0)，

PAAF·(ta)(ac)0taP(ab)

∵⊥，则＝－＋＝，可得＝，则点，，

222

∵|PO|＝2，则a＋b＝4，∵a＝1，∴b＝3，

2

2

∴双曲线C的标准方程为x－＝1.

3

(2)B(03)M(xy)N(xy)

由题意可知，，设，，，，

1122

=+

MNQ(xy)

线段中点，，联立2

00

2=1

−，

3

222

y(3k)x2kmxm30

消去得－－－－＝，

2

3−≠0，

依题意

222

=−2−43−−−3＞0，

3−≠0，

即①

22

3+−＞0，