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(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+32
思维拆解
规范解答
阅卷细则
第一步:求导.
第二步:对a分类讨论,判断f′(x)的符号,得函数f(x)的单调性.
第三步:利用(1)的结论,求函数f(x)的最值.
第四步:构造函数g(a)=1+a2+lna-2lna-32
第五步:求函数g(a)的最小值,得结论.
(1)解:f′(x)=aex-1,1分
当a≤0时,f′(x)<0,
所以函数f(x)在R上单调递减.2分
当a>0时,令f′(x)>0,得x>-lna;
令f′
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