第10章 第3课时　成对数据的统计分析-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

第课时成对数据的统计分析

3

[]1.222

考试要求．了解样本相关系数的统计含义．理解一元线性回归模型和×

列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3．会利用统计知识进行数据分析．

1．变量的相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，

这种关系称为相关关系，即不确定性关系．

2．相关关系的分类

(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．

①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势．

(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．

①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线

附近，我们称这两个变量线性相关；

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称

这两个变量非线性相关或曲线相关．

3．相关关系的刻画

(1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的

统计图，叫做散点图．

(2)样本相关系数r的计算式

r＝＝.

(3)r

样本相关系数的性质

①样本相关系数r的取值范围为[－1，1]；

r0

②若时，成对样本数据正相关；

③若r0时，成对样本数据负相关；

④样本相关系数与相关程度

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

|r|0

当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

提醒：当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．

4．一元线性回归模型与最小二乘法

(1)一元线性回归模型

=++

YxY

称为关于的一元线性回归模型．其中，称为因变量

=0=

，

或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是

Ybxae0Yx

与＋之间的随机误差，如果＝，那么与之间的关系就可以用一元线

性函数模型来描述．

(2)最小二乘法

将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，

其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的

ba

，叫做，的最小二乘估计，其中

＝，－．

5．刻画回归效果的方式

(1)残差图法

在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明

选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．

(2)残差平方和法

残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好．

(3)决定系数法

22

R＝1－.R的值越趋近于1，模型的拟合效果越好．

6．列联表与独立性检验

(1)XY22

分类变量，的×列联表：

XY合计

Y0Y1

＝＝

X0