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高等院校非数学类本科数学课程;第一节数列的极限;;3.保号性定理;保号性定理的推论1:;保号性定理的推论2:;例1;例2;;例3;1.单调收敛准则;证;类似地,有;;又;综上所述,数列{xn}是单调增长且有上
界的,由极限存在准则可知,该数列的极限
存在,一般将它记为e,即;;欧拉一身经历坎坷。他于17生于瑞士
巴塞尔,后却永远离开了祖国。在他76年
的生命历程中,尚有25年住在德国柏林(1741
-1766年),其他时间则留在俄国彼得堡。
欧拉31岁时右眼失明,59岁时双目失明。
他的寓所和财产曾被烈火烧尽(1771年),与
他共同生活40年的结发之妻先他去世。;欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著,另有更多未
出版的论著。仅仅双目失明后的17年间,还口述了几本书
和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。
欧拉聪颖早慧,13岁入巴塞尔大学学文科,两年后获学
士学位。次年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望,学
了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研
究工作。
欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿
拉哥(D.F.J.Arago,1786-1853)说:“欧拉计算一点也不
费力,正像人呼吸空气、或像老鹰乘风翱翔同样。”;有一次,欧拉的两个学生计算一种复杂的收敛级数的
和,加到第17项时两人发目前第50位数字相差一种单位。
为了确定究竟谁对,欧拉专心算进行了所有运算,精确地
找出了错误。尤其是在他双目失明后,运专心算处理了使
牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。
欧拉创用a,b,c表达三角形的三条边,用A,B,C
表达对应的三个角(1748);创用?表达求和符号(1755);
倡导用?表达圆周率(1736);1727年用e表达自然对数
的底;还用?y表达差分等等。
十八世纪四十年代,欧拉的某些著作就已传到中国,
如他在1748年出版的《无穷分析引论》。;2.数列极限的夹逼定理;;解;解;夹逼定理;例5;例6;3.柯西收敛准则;证;柯西
A.L.Cauchy
(1789-1857);柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通
古典文学的律师,与当时法国的大数学家拉格朗日和拉
普拉斯交往亲密。少年时代柯西的数学才华就颇受这两
位大数学的赞赏,并预言柯西后来必成大器。在拉格朗
日的提议下,其父亲加强了对柯西文学素质的培养,使
得后来柯西在诗歌方面也体现出很高的才华。
1805-18,柯西考入巴黎理工学校,两年后以
第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取,毕业时获该校
会考大奖。18成为工程师。18获科学院数学大
奖,183月被任命为巴黎科学院院士,同年9月,被
任命为巴黎理工学校分析学和力学专家。;由于身体欠佳,接受拉格朗日和拉普拉斯的劝说,放
弃工程师工作,致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大
奉献是在微积分中引进了极限概念,并以极限为基础建立
了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一种重大
事件,也是柯西对人类科学发展所作的巨大奉献。18
柯西提出了极限定义的ε措施,把极限过程用不等式刻划
出来,后经维尔斯特拉斯改善为目前教科书上所说的极限
定义或ε-δ定义。当今所有微积分教科书都还(至少在
本质上)沿用柯西有关极限、持续、收敛等概念。柯西对
定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的
极限,并强调在作定积分运算前,应判断定积分的存在性。;他首先运用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯
西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作,使数学分析的基本
概念得到严格化处理,从而结束了200年来微积分在思想
上的混乱局面,并使微积分发展为现代数学最基础、最庞
大的数学学科。
数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。
在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论,会后,拉普
拉斯匆匆回家,关起门来,避不见人,直到将他所刊登和
未刊登的与级数有关的论文和著作所有检查一遍,确认无
误为止。;柯西毕生撰写的数学论著有800多种。他是19个科学院
或著名学术团体的组员。1838年他还被授予男爵封号。他在
学术上的奉献波及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分
方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几
何、光学、天体力学等学科或学科分支。
柯西毕生最大的错误是“失落”了才华杰出的年轻数学家
伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿,致使群论晚
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