数列极限的收敛准则讲解.ppt

高等院校非数学类本科数学课程;第一节数列的极限;;3.保号性定理;保号性定理的推论1：;保号性定理的推论2：;例1;例2;;例3;1.单调收敛准则;证;类似地,有;;又;综上所述,数列{xn}是单调增长且有上

界的,由极限存在准则可知,该数列的极限

存在,一般将它记为e,即;;欧拉一身经历坎坷。他于17生于瑞士

巴塞尔，后却永远离开了祖国。在他76年

的生命历程中，尚有25年住在德国柏林（1741

－1766年），其他时间则留在俄国彼得堡。

欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。

他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与

他共同生活40年的结发之妻先他去世。;欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未

出版的论著。仅仅双目失明后的17年间，还口述了几本书

和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。

欧拉聪颖早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学

士学位。次年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学

了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研

究工作。

欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿

拉哥（D.F.J.Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不

费力，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风翱翔同样。”;有一次，欧拉的两个学生计算一种复杂的收敛级数的

和，加到第17项时两人发目前第50位数字相差一种单位。

为了确定究竟谁对，欧拉专心算进行了所有运算，精确地

找出了错误。尤其是在他双目失明后，运专心算处理了使

牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。

欧拉创用a，b，c表达三角形的三条边，用A，B，C

表达对应的三个角(1748)；创用?表达求和符号(1755)；

倡导用?表达圆周率（1736）；1727年用e表达自然对数

的底；还用?y表达差分等等。

十八世纪四十年代，欧拉的某些著作就已传到中国，

如他在1748年出版的《无穷分析引论》。;2.数列极限的夹逼定理;;解;解;夹逼定理;例5;例6;3.柯西收敛准则;证;柯西

A.L.Cauchy

(1789－1857);柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通

古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉

普拉斯交往亲密。少年时代柯西的数学才华就颇受这两

位大数学的赞赏，并预言柯西后来必成大器。在拉格朗

日的提议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使

得后来柯西在诗歌方面也体现出很高的才华。

1805－18，柯西考入巴黎理工学校，两年后以

第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校

会考大奖。18成为工程师。18获科学院数学大

奖，183月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被

任命为巴黎理工学校分析学和力学专家。;由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝说，放

弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大

奉献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立

了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一种重大

事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大奉献。18

柯西提出了极限定义的ε措施，把极限过程用不等式刻划

出来，后经维尔斯特拉斯改善为目前教科书上所说的极限

定义或ε－δ定义。当今所有微积分教科书都还（至少在

本质上）沿用柯西有关极限、持续、收敛等概念。柯西对

定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的

极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。;他首先运用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯

西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本

概念得到严格化处理，从而结束了200年来微积分在思想

上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞

大的数学学科。

数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。

在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普

拉斯匆匆回家，关起门来，避不见人，直到将他所刊登和

未刊登的与级数有关的论文和著作所有检查一遍，确认无

误为止。;柯西毕生撰写的数学论著有800多种。他是19个科学院

或著名学术团体的组员。1838年他还被授予男爵封号。他在

学术上的奉献波及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分

方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几

何、光学、天体力学等学科或学科分支。

柯西毕生最大的错误是“失落”了才华杰出的年轻数学家

伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚