- 1、本文档共5页,可阅读全部内容。
- 2、原创力文档(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
《周髀算经》中勾股定理的公式与证明
首先,《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式:“若求邪至日者,以日下为句,日高为股,句股
各自乘,并而开方除之,得邪至日”(《周髀算经》上卷二)
而勾股定理的证明呢,就在《周髀算经》上卷一[2]——
昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升,地不可
得尺寸而度,请问数安从出?”
商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修
四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以
治天下者,此数之所生也。”
周公对古代伏羲(包牺)构造周天历度的事迹感到不可思议(天不可阶而升,地不可得尺寸而度),
就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例,解释数学知识的由来。
“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。”:解释发展脉络——数之法出于圆
(圆周率三)方(四方),圆出于方(圆形面积=外接正方形*圆周率/4),方出于矩(正方形源自两边相
等的矩),矩出于九九八十一(长乘宽面积计算依自九九乘法表)。
“故折矩①,以为句广三,股修四,径隅五。”:开始做图——选择一个勾三(圆周率三)、股四(四
方)的矩,矩的两条边终点的连线应为5(径隅五)。
“②既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。”:这就是关键的证明过程——以矩的两条边画
正方形(勾方、股方),根据矩的弦外面再画一个矩(曲尺,实际上用作直角三角),将“外半其一矩”
得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形,可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三
个正方形。
“两矩共长③二十有五,是谓积矩。”:此为验算——勾方、股方的面积之和,与弦方的面积二十五
相等——从图形上来看,大正方形减去四个三角形面积后为弦方,再是大正方形减去右上、左下两个长
方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半,可推出四个三角形面积等于右上、左下
两个长方形面积,所以勾方+股方=弦方。
注意:
①矩,又称曲尺,L型的木匠工具,由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺,“矩形”
才是“矩”衍生的长方形。
②“既方之,外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”,而之前版本多
为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究,“既方之,外
半其一矩”更符合逻辑。
③长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较,并没有发明新的术语,而统称“长”。赵爽注称:“两
矩者,句股各自乘之实。共长者,并实之数。
由于年代久远,周公弦图失传,传世版本只印了赵爽弦图(造纸术在汉代才发明)。所以某些学者误
以为商高没有证明(只是说了一段莫名其妙的话),后来赵爽才给出证明。
其实不然,摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘,并之为弦实,开
方除之即弦。案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差实亦
成弦实。”
注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”,“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一
种方法证明,于是他给出了新的证明。
赵爽弦图。注意中间的中黄实
参考资料:
1.曲安京:商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.刊於《数学传播》20卷,台湾,1996年9月第
3期,20-27页。
2.周髀算经,文物出版社,1980年3月,据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
3.陈良佐:周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系.刊於《汉学研究》,1989年第7卷第
1期,255-281页。
4.李国伟:论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章.刊於《第二届科学史研讨会汇刊》,台
湾,1991年7月,227-234页。
5.李继闵:商高定理辨证.刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。
您可能关注的文档
- 河南省濮阳市高职单招2023年英语自考真题(附答案).pdf
- 融资案例分析报告.pdf
- 新工科建设项目申报书.pdf
- 个人能力建设工作计划范文.pdf
- 产业园节能减排方案.pdf
- 生产环境管理制度例文(2篇).pdf
- 幼儿园家长沟通技巧培训计划.pdf
- 大学计算机计算思维视角.pdf
- 英语作文比赛获奖感言的即兴发言50字六年级.pdf
- 文体娱乐室管理制度范文(2篇).pdf
- 英语人教PEP版八年级(上册)Unit4+writing+写作.pptx
- 人美版美术四年级(上册)8 笔的世界 课件 (1).pptx
- 人美版美术七年级(上册)龙的制作.pptx
- 英语人教PEP版六年级(上册)Unit 2 第一课时.pptx
- 数学苏教版三年级(上册)3.3 长方形和正方形周长的计算 苏教版(共12张PPT).pptx
- 音乐人教版八年级(上册)青春舞曲 课件2.pptx
- 音乐人教版四年级(上册) 第一单元 音乐知识 附点四分音符|人教版.pptx
- 英语人教PEP版四年级(上册)Unit 6 Part B let's learn 1.pptx
- 道德与法治人教版二年级(上册)课件-3.11大家排好队部编版(共18张PPT).pptx
- 人美版美术七年级(上册)《黄山天下奇》课件1.pptx
文档评论(0)