适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学二轮总复习专题突破练14空间位置关系的判断与证明.docVIP

专题突破练14空间位置关系的推断与证明

一、单项选择题

1.设α,β为两个不同的平面,直线l?α,则“l∥β”是“α∥β”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,点M在AB上,且AM=λAB,若BC1∥平面A1MC,则λ=()

A.12 B.13 C.14

3.如图,AB为圆锥底面直径,点C为底面圆O上异于A,B的动点,已知OA=3,圆锥侧面绽开图是圆心角为3π的扇形,当∠PBC=π3时,PB与AC所成的角为(

A.π3 B.π6 C.π4

4.很多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形,共有12个顶点、30条棱.如图,由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点构成正五棱锥P-ABCDE,则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为()(参考数据cos36°≈0.8)

A.56 B.

C.35 D.

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P在矩形ACC1A1(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹的长度为()

A.π B.2π C.2π D.22π

二、多项选择题

6.(2024·新高考Ⅰ,9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()

A.直线BC1与DA1所成的角为90°

B.直线BC1与CA1所成的角为90°

C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满意BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(

A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值

B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值

C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥

D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1

三、填空题

8.若平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,且平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,则直线l与直线A1C1所成的角为.?

9.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为23的正三角形,AA1=3,AA1⊥AC,D为A1C1的中点,BD=33,则二面角A1-AC-B的正切值为.?

专题突破练14空间位置关系的推断与证明

一、单项选择题

1.B解析当l∥β时,α与β可能平行也可能相交.当α∥β时,因为l?α,所以l∥β.故选B.

2.A解析如图,连接AC1,交A1C于点O,连接OM.∵BC1∥平面A1MC,BC1?平面ABC1,平面A1MC∩平面ABC1=OM,

∴BC1∥OM.又在△ABC1中,O为AC1的中点,∴M为AB的中点,∴AM=12AB,∴λ=12

3.C解析设圆锥的母线长为l,则l·3π=23π,解得l=2.∵PB=PC=l=2,∠PBC=π3,∴BC=2.∴在Rt△ABC中,AC=22.作BD∥AC,与圆O交于点D,连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=22.连接PD,则∠PBD

在△PBD中,∵PD=PB=2,BD=22,

∴PB2+PD2=BD2,∴PD⊥PB,∴∠PBD=π4.

4.A解析设正二十面体的棱长为a,点P在面ABCDE内的射影为点O,则O为正五边形ABCDE的中心.连接OA,OB,PO(图略),则∠AOB=72°,所以OA=12ABsin36°=12a1-cos236°≈56

5.B解析由题意,易知动点P的轨迹为以AC为直径的半圆弧,AC=22,故动点P的轨迹的长度为12×22

二、多项选择题

6.ABD解析连接AD1,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;

连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1?平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;

连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.

设正方体的棱长为a,则OC1=22a,BC1=2a

∴sin∠C1BO=OC1BC1=1

∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.

故选ABD.

7.BD解析A项中,当λ=1时,BP=BC+μBB1?BP-BC=CP=μ

图①

在△A