2025年-数学第十四课.pptx

一、欧氏空间的定义;满足性质：;①V为实数域R上的线性空间;;例1．在中，对于向量;2）定义;例2．为闭区间上的所有实连续函数;二、欧氏空间中向量的长度;3.向量长度的简单性质;对欧氏空间V中任意两个向量，有;2.柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用;设V为欧氏空间，为V中任意两非零;①零向量与任意向量正交.;5.勾股定理;例3、已知;设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中;;定义：矩阵;①度量矩阵A是实对称矩阵.;④对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.;于是;欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是;一、正交向量组;设Ｖ为欧氏空间，非零向量;例1．在中，对于向量;①若则是正交向量组.;④维欧氏空间中正交向量组所含向量个数;1.几何空间中的情况;设;维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组;②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基;(i)设;例把;;即;是正交基;定理1维欧氏空间中任一个正交向量组都能;现在来看的情形.;即为正交向量组．;都可找到一组标准正交基使;一般地，假定已求出是单位正交的，且;再设;Schmidt正交化过程:;例2.把;例2.把;再单位化;;;则过渡矩阵是上三角形（即） ;例2.在中定义内积为;;;单位化;于是得的标准正交基;是的一组标准正交基，;则有：;;设与是维欧氏空间V中的;由公式（3），有;则称A为正交矩阵.;3）设是标准正交基，A为正交矩阵，若;一、欧氏空间的同构;一、欧氏空间的同构;例2.;;在中，;当且仅当时;在中，;例.在中定义内积为;1、若是欧氏空间V到V的同构映射，则也是;标准正交基，;①反身性；②对称性；③传递性.;③若分别是欧氏空间V到V、V到V的同构映射，;5、两个有限维欧氏空间V与V同构