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第五章
一元函数的导数及其应用;内容索引;学习目标;;活动方案;例1给定函数f(x)=(x+1)ex.
(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值;
(2)画出函数f(x)的大致图象;
(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.;
;
;
;函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象:
(1)求出函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点;
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,并得出f(x)的单调性与极值;
(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;
(5)画出f(x)的大致图象.;【解析】(1)由题意,得f(x)的定义域为R,f′(x)=a·ex-x-1,
若函数f(x)有两个极值点,
则f′(x)=a·ex-x-1=0有两个变号零点,;
;当h(x)=0时,x=-1,当x→-∞时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0且为正数,
则h(x)的图象如图所示,所以0a1.故实数a的取值范围是(0,1).
;
;
;例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?;
;(1)当半径为6cm时,利润最大.
(2)当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.;实际问题一定要注意自变量的取值范围,利用导数解决利润等实际意义量的最值问题.;在经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数,记为C(x);出售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x);R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x).
(1)设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,生产多少单位产品时,边际成本C′(x)最低?
(2)设C(x)=50x+10000,产品的单价p(x)=100-0.01x,怎样定价可使利润最大?;【解析】(1)由题意,得C′(x)=3×10-6x2-0.006x+5.记g(x)=C′(x),
由g′(x)=6×10-6x-0.006=0,解得x=1000.
当x∈(-∞,1000)时,g′(x)0,函数g(x)单调递减;
当x∈(1000,+∞)时,g′(x)0,函数g(x)单调递增,所以当x=1000时,g(x)取得最小值,即当x=1000时,边际成本C′(x)最低.;(2)由题意,得R(x)=x(100-0.01x),
则P(x)=100x-0.01x2-(50x+10000)=-0.01x2+50x-10000.
由P′(x)=-0.02x+50=0,解得x=2500,所以当x=2500时,利润最大,
此时p=100-0.01×2500=75(元),故当产品单价为75元时,利润最大.;检测反馈;1;1;1;3;3;3;3;4;4;2;2;2;谢谢观看
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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