2024年北京大学强基计划笔试数学真题试卷含详解.docx

北京大学2024年强基计划笔试数学试卷

1.求模7的余数.

2.求.

3.求的排列的个数，使得排列中没有出现连续的.

4.已知数列，求第2024项模5的余数.

5.求四元组的个数，使得，且.

6.求上方程的解的个数.

7.求上方程解的个数.

8.求上方程的解的个数.

9.在体积为的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值.

10.在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求.

11.用表示正整数的数码和，求满足与均为5的倍数的的最小值.

12.称正整数为好数,当它各位数字均不相同，且对于所有正整数满足，都有，求最大好数的范围（）

AB.C.D.以上均不对

13.在中，求的最小值或下确界.

14.在中，若边上高为，求的范围.

15.在中，若在上，比较与大小.

16.在中，若形外一点，满足，线段与线段交于，且，，求.

17.在中，若在上，平分的内心与的外心重合，求.

18.在中，若在上，平分，求的周长.

19.在中，求的最大值的取等条件.

20.，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求.

北京大学2024年强基计划笔试数学试卷

1.求模7的余数.

【答案】1

【分析】只要注意到19与20的相邻关系，容易将高斯取整写成普通的计算式，剩下就只需要对幂次进行常规的同余计算.

【详解】因为，所以

，

上述中用到，，所以.

2.求.

【答案】

【分析】由，化简得到，，化简得到，从而将原式化简为，利用，求出，即可求解.

【详解】因为，

从而得到：，

则

由于，

，

所以，

因为

因为

所以，

即，

解得：或(舍去)

所以

3.求的排列的个数，使得排列中没有出现连续的.

【答案】

【分析】先考虑包含连续的排列对应的七个集合，计算它们通过取交得到的集合的元素个数，然后利用容斥原理得到不满足条件的排列数，再用总排列数与该数相减即得答案.

【详解】对有限集合，记其元素个数为.

在的所有排列中，设为所有包含连续的的排列构成的集合，这里.

则对而言，集合中的所有排列，都相当于在将需要相邻的数进行捆绑以后，个整体元素的全排列，从而.

故由容斥原理即得

.

这就表明出现了连续的中之一的排列有个，所以不出现连续的的排列有个.

故所求排列的个数为.

4.已知数列，求第2024项模5的余数.

【答案】4

【分析】设，可得，从而得到，即可求解

【详解】设数列满足：，，，，，，，，，，，

设，

所以，，

则，故

所以64模5余数为4

5.求四元组的个数，使得，且.

【答案】25

【分析】根据，可得可能的取值，再利用排列组合求得四元组的个数.

【详解】因为，且，

所以的取值有三种不同的组合：或或，

即，

当时，四元组有个，

当时，四元组有1个

当时，四元组有个，

故满足题意的四元组的个数为个.

6.求上方程的解的个数.

【答案】

【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得只能，分别比较和时，的大小关系，再根据函数和的凹凸性即可得解.

【详解】由，只能，

当时，，

当时，，

令，则，

所以在上单调递减，

，

所以函数是凹函数，

令，则函数在上单调递减，

，，

所以函数是凸函数，

所以函数与有两个交点，

即上方程的解的个数为个.

7.求上方程的解的个数.

【答案】

【分析】用反证法证明原方程的解都满足，即，然后逐一代入验证即可.

【详解】一方面，假设原方程有一个满足的根，则.

令，则.

对，有，故；

对，有，故.

所以对，都有，从而由知，矛盾.

所以无解，

故原方程的解，只有满足，即，直接验证即知都是原方程的解.

所以原方程一共有个解.

8.求上方程的解的个数.

【答案】

【分析】由得，由得，解得的范围，得可能取值为，代入计算检验即可.

【详解】由得，所以，

因为，所以，

得，

解得，

此时可能取值为，

分别代入计算可得，

经检验不符合题意，故方程的解只有4个.

【点睛】关键点点睛：根据得不等式组，进而得可能取值，代入计算可得.

9.在体积为的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值.

【答案】

【分析】先通过不等式方法证明这个长方体中至少有个的体积不超过，再说明当，，时，这个长方体中恰有个的体积不超过，即可说明这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为.

【详解】设该正方体的长宽高分别被切成长度为和，和，