人教A版普通高中数学一轮复习18课时练习含答案.docx

课时质量评价(十八)

1．已知x∈(0，1)，求证：x2－1x

证明：要证x2－1x＜lnxex，只需证e

又易证ex＞x＋1(0＜x＜1)，所以只需证明lnx＋(x＋1)1x-

即证lnx＋1－x3＋1x－x2＞

又当0＜x＜1时，x3＜x，x2＜x，

所以只需证lnx＋1－2x＋1x＞

令g(x)＝lnx＋1－2x＋1x(0＜x＜

则g′(x)＝1x－2－1x2＝－2x2-x+1x2

所以g′(x)＜0恒成立，所以g(x)在(0，1)上单调递减，

所以当x∈(0，1)时，g(x)＞g(1)＝0，

即lnx＋1－2x＋1x＞

故x2－1x

2．(2024·合肥模拟)已知函数f(x)