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一．乘法公式综合题

1.（20年历下期中T24）24．（10分）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图

3两个图形．

（1）在图2中的阴影部分的面积S可表示为；（写成多项式乘法的形式）；

1

在图3中的阴影部分的面积S可表示为；（写成两数平方差的形式）；

2

（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；

（3）请利用所得等式解决下面的问题：

22

①已知4m﹣n＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝；

24832

②计算（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1的值，并直接写出该值的个位数

字是多少．

2.（2019历下期中T24）（10分）乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；

（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，

面积是（写成多项式乘法的形式）；

（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式；

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

10.2×9.8，（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．

①②

（月日作业

3.427T24.)9

（分）问题再现：

利用图形的几何意义证明完全平方公式．

证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如

222

图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）或a+2ab+b

222

∴（a+b）＝a+2ab+b这就验证了两数和的完全平方公式．

类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要

求画出图形并写出推理过程）

332

问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1+2＝3？

3

如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝1；B表示1个2×2的正方形，

C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2

3

的正方形，即：2×2×2＝2而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）

3322

的大正方形．由此可得：1+2＝（1+2）＝3

尝试解决：

（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：

333

1+2+3＝．（要求写出结论并构造图形

写出推证过程）．

（3）问题拓广：

3333

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1+2+3+…+n＝．（直接写

出结论即可，不必写出解题过程）

4.（2021历城期中T25）（9分）问题背景：

在学习了完全平方公式后，老师布置了一道作业题：如图，长方形ABCD的长为a，宽

为b，面积为4，周长为10，分别以a，b为边作正方形ABEF