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福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．甲?乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲?乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（????）

A． B． C． D．

3．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

4．已知三条不重合的直线和平面，下列命题中是真命题的为（????）

A．若直线和平面所成的角相等，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

5．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：

116??785??812??730??134??452??125??689??024??169

334??217??109??361??908??284??044??147??318??027

若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（????）

A． B． C． D．

6．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（????）

A． B．

C． D．

7．在中，角的对边分别为，则的面积为（????）

A． B． C． D．

8．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党?知史爱国的热情，某校举办了“学党史?育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（????）

??

A．的值为0.005；

B．估计成绩低于60分的有25人

C．估计这组数据的众数为75

D．估计这组数据的第85百分位数为86

10．下列说法正确的是（????）

A．已知事件A，B，且，，如果，那么，

B．对于单峰的频率分布直方图而言，若直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数

C．若A，B是两个互斥事件，则

D．若事件A，B，C两两独立，则

11．如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（????）

??

A．异面直线与所成的角为

B．直线与平面所成的角为

C．二面角平面角的正切值为

D．点到平面的距离为

三、填空题

12．在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为．

13．在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为，方差为.

14．设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则.

四、解答题

15．已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）．

(1)求；

(2)复数，若为纯虚数，求实数的值．

16．已知向量满足，，．

(1)求向量的夹角的大小；

(2)设向量，若的夹角为锐角，求实数k的取值范围．

17．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．

(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率．

18．已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点．

??

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求直线和平面所成角的正弦值．

19．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且．

(1)求的值；

(2)求的面积；

(3)设点分别为边上的动点（含端点）