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考点突破练14圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

1.(2024·湖南岳阳质检二)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0),F为上焦点,左顶点P到F的距离为2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若过F的直线l与C交于A,B两点,证明:∠OMA=∠OMB.

2.(2024·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x2=ay(a0),过点M0,a2作两条相互垂直的直线l1,l2,设l1,l2分别与抛物线相交于A,B及C,D两点,当A点的横坐标为2时,抛物线在点A处的切线斜率为1.

(1)求抛物线的方程;

(2)设线段AB,CD的中点分别为E,F,O为坐标原点,求证:直线EF过定点.

3.(2024·北京石景山一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过右焦点F作斜率为k的直线l,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,推断|PF|

4.(2024·全国乙·文21)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B32,-

(1)求E的方程;

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满意MT=TH.证明:直线HN

5.(2024·河南濮阳一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32,且圆

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l的斜率为12,且直线l与椭圆C相交于P,Q两点,点P关于原点的对称点为E,点A(-2,1)是椭圆C上一点,若直线AE与AQ的斜率分别为kAE,kAQ,证明:kAE·kAQ≤0

6.(2024·广西柳州三模)已知点A(2,3),B(-2,-3),点M与y轴的距离记为d,且点M满意MA·MB=d24

(1)求曲线W的方程;

(2)设点P为x轴上除原点O外的一点,过点P作直线l1,l2,l1交曲线W于C,D两点,l2交曲线W于E,F两点,G,H分别为CD,EF的中点,过点P作x轴的垂线交GH于点N,设CD,EF,ON的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k3(k1+k2)为定值.

考点突破练14圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

1.(1)解左顶点P到F的距离为2,可得a=2,又e=ca=22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C的标准方程为y22

(2)证明当l与y轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.

当l与y轴不重合时,设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1-2x1+y2-

联立方程y=kx+1,y22+x2=1,可得(2+k2)x2+2kx-1=0,x1+x2=-2k2+k2,x1x2=-12+k2,∴2k-x

综上,∠OMA=∠OMB.

2.(1)解∵y=2xa,由题意得2×2a=1,∴a=4,∴抛物线的方程为x

(2)证明由题意得直线l1,l2的斜率都存在且都不为0,由M(0,2),可设直线AB的方程为y=kx+2(k≠0),

设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+2,x2=4y,得x2-4kx-8=0,则x1+x2=4k,∴y1+y2=k(x1+x2)+4=4k2+4,∴AB的中点E(2k,2k2+2).∵l1⊥l2,∴直线CD的斜率为-1k,同理可得CD的中点F-2k,2k2+2,∴EF的方程为y-(2k2+2)=

∴直线EF恒过定点(0,4).

3.解(1)由题意得b=3,e=1-b2a2=1

(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x24+y23=1,得右焦点F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(

由y=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12

|AB|=1+k2|x1-x2|=

设线段AB的中点为D(x0,y0),则x0=x1+x22=4k23+4k2,则y0=k(x0-1)=-3k3+4

令y=0,得xP=k23+4k2,所以|PF|=|xP-1|=

4.(1)解设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m0,n0),

则4n=1,94m+n=1

(2)证明由点A(0,-2),B32,-1,可知直线AB的方程为y=2

当过点P的直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=1.

由x=1,

则点M1,-263

将y=-263代入y=23x-2,得x=3

则点T3-

又MT=TH,所以点H5-26,-263,所以直线HN的方程为

所以直线HN过点(0,-2).

当过点P的直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y+2=k(x-1),点M(x1,y1),N(x2,y2).

由y+2=k(x-1),x23+y24=1,消去y,得(4+3k2)

则Δ0,x1+x2=6k(k+2)4+3k2

将y=y1代入y=