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考点突破练3三角函数与解三角形

1.(2024·河南开封一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(acosC+ccosA)=a+c.

(1)求证:a,b,c成等差数列;

(2)求B的最大值.

2.(2024·北京海淀一模)设函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x(A∈R).已知存在A使得f(x)同时满意下列三个条件中的两个:条件①:f(0)=0;条件②:f(x)的最大值为2;条件③:x=π8是f(x)图象的一条对称轴

(1)请写出f(x)满意的两个条件,并说明理由;

(2)若f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,求m的取值范围.

3.(2024·安徽蚌埠质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=120°,点D在边BC上,满意CD=2BD,且sin∠

(1)求证:AD=13a

(2)求角C.

4.(2024·全国Ⅱ·理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A;

(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.

5.(2024·广东茂名一模)如图所示,遥感卫星发觉海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(303-30)海里处有一个小岛C.

(1)求小岛A到小岛C的距离;

(2)假如有游客想干脆从小岛A动身到小岛C,求游船航行的方向.

6.(2024·北京信息题)在△ABC中,B=π3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17

(1)sin∠BAD;

(2)BD,AC的长.

7.(2024·安徽高考冲刺)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acosB=2c+b.

(1)求A;

(2)若a=4,b+c=32,求△ABC的面积.

8.(2024·陕西西安四区县联考)已知锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2B-sin2C)

(1)求sinC;

(2)若c=3,求△ABC周长的取值范围.

考点突破练3三角函数与解三角形

1.(1)证明由已知及正弦定理,得2(sinAcosC+sinCcosA)=sinA+sinC,即2sin(A+C)=sinA+sinC,∴2sinB=sinA+sinC,再由正弦定理,得2b=a+c,∴a,b,c成等差数列.

(2)解由2b=a+c,得4b2=a2+c2+2ac,

cosB=a2+c2-b22ac=

所以B取最大值为π3

2.解(1)函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x=sin2x+Acos2x=1+A2sin(2x+φ)tanφ=A,φ∈-π2,π

对于条件①:若f(0)=0,则A=0,对于条件②:f(x)max=2,则1+A2=

①②不能同时成立,当A=0时,fπ8=22≠±1,即不满意条件③,即①③不同时成立;

当A=1时,f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+π4,

fπ8=2,即满意条件③;

当A=-1时,f(x)=sin2x-cos2x=2sin2x-π4,

fπ8=0,即不满意条件③.

综上可得,存在A=1满意条件②③.

(2)由(1)得f(x)=2sin2x+π4,

当0xm时,π42x+π42m+

∵f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,由fπ4=2sin3π4=10,∴f2m+π40,则π2m+π4≤2π,解得3π8m≤7π8,即m

3.(1)证明∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12c·AD·sin∠BAD+12b·AD·sin∠CAD=12b·c·sin

∴c·AD·sin∠BAD+b·AD·sin∠CAD=32bc

故sin∠BADb+sin∠

(2)解由题意知BD=13a,CD=23

在△ABC中,由余弦定理得a2=c2+b2+bc,①

在△ABD中,cos∠ADB=AD

在△ACD中,cos∠ADC=AD

由∠ADB+∠ADC=π,知cos∠ADB+cos∠ADC=0,

即a2=b2+2c2,②

由①②得,b=c=33a,即C=30°

4.解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA.②

由①②得cosA=-12.因为0Aπ,所以A=2

(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sinB,AB=23sin(

故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+π3.又0Bπ3,所以当B=π6时,△ABC周长取得最大值3+23

5.解(1)在△ABC中,AB=60,BC=303-30,∠ABC=180°-75°+1