北京市通州区潞河中学2023-2024学年高三下学期第三次模拟 数学试卷【含答案】 .docx

潞河中学2023-2024高三第三次模拟试卷

数学

2024.5

本试卷共2页，150分.考试时长120分钟．考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知为整数集，，则（????）

A． B． C． D．

2．记等差数列的前n项和为.若，，则（????）

A．49 B．63 C．70 D．126

3．若，则（????）

A． B．1 C．2 D．4

4．若，则（????）

A．80 B． C．40 D．81

5．已知，，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（????）

??

A． B． C． D．

7．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（????）

A． B． C． D．

8．已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点，抛物线焦点为，的面积为4，则的长度为（????）

A．2 B． C． D．

9．已知函数（，）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（????）

A．

B．恒成立

C．在上单调递减

D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称

10．在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（???）

A．34 B．40 C．44 D．48

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知随机变量，，且，，则．

12．已知，，，则三者大小关系为（按从小到大顺序）

13．已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为.

14．已知函数的值域是，若，则m的取值范围是．

15．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是．

①存在等差数列，使得是的“M数列”

②存在等比数列，使得是的“M数列”

③存在等差数列，使得是的“M数列”

④存在等比数列，使得是的“M数列”

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.

(1)求角的大小；

(2)设，，求的值.

17．如图，在三棱锥中，，，，.

??

(1)证明：平面平面；

(2)若，，求二面角的平面角的正切值.

18．某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：

日期

1日

2日

3日

4日

5日

6日

7日

8日

9日

10日

元件A个数

9

15

12

18

12

18

9

9

24

12

日期

11日

12日

13日

14日

15日

16日

17日

18日

19日

20日

元件A个数

12

24

15

15

15

12

15

15

15

24

从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．

（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；

（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）

19．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解．（其中）

20．已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值．

21．约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．

设正整数a有k个正约数，即为，，?，，（）．

(1)当时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；

(2)当时，若，，?构成等比数列，求正整数a．

(3)当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，，?，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．

1．A

【分析】根据条件，利