高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题34空间几何体的表面积与体积(原卷版+解析).docxVIP

2023高考一轮复习讲与练

专题34空间几何体的表面积、体积

空间几何体的表面积、体积

空间几何体的表面积、体积

几何体的表面积

锥体表面积

台体表面积

柱体表面积

台体体积

柱体体积

锥体体积

几何体的体积

几何体的体积

练高考明方向

1.(2023·全国甲（理、文）T10）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）

A. B. C. D.

答案：C

分析：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，

所以，又，则，所以，

所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，

所以.故选：C.

2.(2023·全国乙（理、文）T12）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A. B. C. D.

答案：C

分析：先证明当四棱锥顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又，则，当且仅当即时等号成立，

3.(2023·新高考Ⅰ卷T4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）

A. B. C. D.

答案：C

分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．

【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．

棱台上底面积，下底面积，

∴

．

4.(2023·新高考Ⅱ卷T11）（多选题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（）

A. B.

C. D.

答案：CD

分析：直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.

【详解】

设，因为平面，，则，

，连接交于点，连接，易得，

又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，

则，，

，则，，，

则，则，，，故A、B错误；C、D正确.

5.(2023·北京卷T9）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）

A. B. C. D.

答案：B

分析：求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】

设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为。

6.(2023·全国甲（文）T19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

（1）证明：平面；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

答案：（1）证明见解析；（2）．

分析：（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．

【解析】

（1）如图所示：，

分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

（2）如图所示：，

分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．

7.(2023·全国乙（文）T18）如图，四面体中，，E为AC的中点．

（1）证明：平面平面ACD；

（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

答案：（1）证明详见解析（2）

分析：（1）通过证明平面来证得平面平面.

（2）首先判断出三角形的面积最小时点的