高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向33一类与圆有关的最值与范围问题(七大经典题型)(原卷版+解析).docxVIP

考向33一类与圆有关的最值与范围问题

经典题型一：斜率型

经典题型二：直线截距型

经典题型三：两点距离型

经典题型四：周长、面积型

经典题型五：数量积型

经典题型六：坐标与角度型

经典题型七：弦长型

（多选题）（2023·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（????）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

答案：ACD

【解析】圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

(2023·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．

答案：

【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，

所以所在直线即为直线，所以直线为，即；

圆，圆心，半径，

依题意圆心到直线的距离，

即，解得，即；

故答案为：

涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：

（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题

解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

（1）数形结合

（2）多与圆心联系

（3）参数方程

（4）代数角度转化成函数值域问题

经典题型一：斜率型

1．(2023·全国·高三专题练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

2．(2023·浙江·模拟预测）已知圆，过点与圆上一点的直线的斜率范围是_______；若点A恰好为过其所在的直线中对圆O张角最大的点（张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角），则此直线的表达式为_______________．

3．(2023·上海市光明中学模拟预测）设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是____________．

4．(2023·江苏苏州·模拟预测）已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．

经典题型二：直线截距型

5．(2023·全国·高三专题练习）已知点是圆上的动点，则的最大值为（???????）

A． B． C．6 D．5

6．(2023·全国·高三开学考试（文））已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（???????）

A．4 B． C． D．

7．（多选题）(2023·全国·高三专题练习）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（????）

A．圆的方程为

B．的方程为

C．圆上的点到的最大距离为

D．若点在圆上，则的取值范围是

8．（多选题）(2023·湖南·长沙一中高三开学考试）已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（????）

A．若，则

B．若点O到直线AB的距离为，则

C．若，则的最大值为

D．若，则的最大值为4

经典题型三：两点距离型

9．(2023·广东茂名·模拟预测）已知向量满足，，，若向量满足，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

10．(2023·全国·高三专题练习）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．

11．(2023·全国·高三专题练习）已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．

12．(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

13．(2023·河北衡水·高三阶段练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

14．(2023·全国·高三专题练习）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

经典题型四：周长、面积型

15．(2023·辽宁朝阳·高三阶段练习）过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．

16．(2023·湖北·高三开学考试）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是___________.

17．（多选题）(2023·全国·模拟预测）已知圆上的三个点分别为，，，直线的方程为，则下列说法正确的是（????）

A．圆的方程为

B．过作直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为

C．若直线被圆截得的弦长为2，则的方程为或

D．当点到直线的距离最大时，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为

18．(2023·北京·高