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考向28外接球、内切球、棱切球
经典题型一:正方体、长方体模型
经典题型二:正四面体模型
经典题型三:对棱相等模型
经典题型四:直棱柱模型
经典题型五:直棱锥模型
经典题型六:正棱锥与侧棱相等模型
经典题型七:侧棱为外接球直径模型
经典题型八:共斜边拼接模型
经典题型九:垂面模型
经典题型十:最值模型
经典题型十一:二面角模型
经典题型十二:坐标法模型
经典题型十三:圆锥圆柱圆台模型
经典题型十四:锥体内切球
经典题型十五:棱切球
(2023·全国·高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是(????)
A. B. C. D.
答案:C
【解析】∵球的体积为,所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为,高为,
则,,
所以,
所以正四棱锥的体积,
所以,
当时,,当时,,
所以当时,正四棱锥的体积取最大值,最大值为,
又时,,时,,
所以正四棱锥的体积的最小值为,
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选:C.
(2023·全国·高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(????)
A. B. C. D.
答案:A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径,所以,即,设球心到上下底面的距离分别为,球的半径为,所以,,故或,即或,解得符合题意,所以球的表面积为.
故选:A.
方法技巧一:正方体、长方体外接球
1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.
2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.
3.补成长方体
(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.
(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.
(3)正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长,如图3所示.
(4)若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示
图1图2图3图4
方法技巧二:正四面体外接球
如图,设正四面体的的棱长为,将其放入正方体中,则正方体的棱长为,显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为,即正四面体外接球半径为.
方法技巧三:对棱相等的三棱锥外接球
四面体中,,,,这种四面体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类问题.
如图,设长方体的长、宽、高分别为,则,三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为,则,所以.
方法技巧四:直棱柱外接球
如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)
图1图2图3
第一步:确定球心的位置,是的外心,则平面;
第二步:算出小圆的半径,(也是圆柱的高);
第三步:勾股定理:,解出
方法技巧五:直棱锥外接球
如图,平面,求外接球半径.
解题步骤:
第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直径,连接,则必过球心;
第二步:为的外心,所以平面,算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得),;
第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:=1\*GB3①;
=2\*GB3②.
方法技巧六:正棱锥与侧棱相等模型
1.正棱锥外接球半径:.
2.侧棱相等模型:
如图,的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤:
第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;
第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);
第三步:勾股定理:,解出.
方法技巧七:侧棱为外接球直径模型
方法:找球心,然后作底面的垂线,构造直角三角形.
方法技巧八:共斜边拼接模型
如图,在四面体中,,,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,,即点到,,,四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.
方法技巧九:垂面模型
如图1所示为四面体,已知平面平面,其外接球问题的步骤如下:
(1)找出和的外接圆圆心,分别记为和.
(2)分别过和作平面和平面的垂线,其交点为球心,记为.
(3)过作的垂线,垂足记为,连接,则.
(4)在四棱锥中,垂直于平面,如图2所示,底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径.
图1
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