2024年浙教版八年级上册数学期末培优复习第2招全等三角形中的截长补短法.pptxVIP

浙教版八年级上第2招全等三角形中的截长补短法

01典例剖析02分类训练目录CONTENTS

教你一招截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中

有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段

等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相

等，再利用全等三角形的判定与性质等有关知识来解决数学

问题.

阅读下面文字并证明：数学习题课上李老师出了这样一道题：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C.求证：AB＋BD＝AC.

李老师给出了如下简要分析：要证AB＋BD＝AC，就

是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”如图②，在AC上截取AE＝AB，

连结DE.

方法二：“补短法”如图③，延长AB至点F，使BF＝

BD.“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍

分”问题常用的方法.

截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转

化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定

截取辅助线的方式.

证明：方法一：在AC上截取AE＝AB，连结DE，如

图②.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.?

∴∠AED＝2∠C.∵∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴DE＝CE，∴AB＋BD＝AE＋CE＝AC.

方法二：如图③，延长AB至点F，使BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABD＝∠F＋∠BDF＝2∠F.

?

旋转型全等三角形中的截长补短1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，

AB＝AD.若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长

线上，且满足EF＝BE＋FD，请写出∠EAF与∠DAB

的数量关系，并说明理由.1234

?∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝

180°，∴∠ADC＝∠ABE.又∵AD＝AB，DG＝BE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，1234

∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE.∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠FAE＝∠FAG.∵∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，∴2∠FAE＋(∠GAB＋∠BAE)＝360°，?1234

2.[新考法分类讨论法]如图①，把两个全等的直角三角形的

斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于M，N，已知∠CAD＝∠CBD＝90°.(1)当∠ACD＋∠MDN＝90°时，AM，MN，BN三条

线段之间有何数量关系？请写出你的证明过程.1234

【解】AM＋BN＝MN.证明如下：∵△ACD≌△BCD，∴∠ADC＝∠BDC，AD＝BD.如图①，延长CB到点E，使BE＝AM，

连结DE.∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°.1234

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?1234

(2)如图②，在(1)的条件下，若将M，N移到CA，BC的

延长线上，完成图②，其余条件不变，则AM，MN，

BN之间有何数量关系？证明你的结论.1234

【解】完成图②如图，BN－AM＝MN.证明如下：∵△ACD≌△BCD，∴∠ADC＝∠BDC，AD＝BD.如图②，在BC上截取BE＝AM，连结DE.∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°.1234

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一般类型全等三角形中的截长补短3.[2024·宁波月考]如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，

CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于

点F.试判断线段AE，CD与AC之间的数量关系并说明

理由.1234

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4.[新视角猜想验证题]数学课上，小白遇到这样一个问题：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

AB＝AC，AD＝AE，求证：∠ABE＝∠ACD.