2024年海南省海口实验中学高一学科竞赛选拔性考试(自主招生)数学试卷含详解.docx

2024年高一年级学科竞赛选拔性考试（自主招生校测）

数学

满分：100分考试时间：90分钟

本卷共五道填空题，三道大题，共计100分

一、填空题（每小题8分，共40分）

1.设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第i行的总和为，第i列的总和为.求的最大值______（答案用含a的式子表示）

2.校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军，实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中最好，次之，…，最差，假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且当与比赛时，获胜的概率为p，其中，求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率为_______

3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意均有则_____

4.已知点，过点P直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为___________

5.一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第八秒爬回初始位置的概率为________

二、解答题（第6题20分，第7题20分，第8题20分，共计60分）

6.已知椭圆上顶点与左顶点的距离为，离心率为，为轴上一点.

（1）求椭圆方程;

（2）连接交椭圆于点，过点作轴垂线，交椭圆另一个点，求的取值范围.

7.设整数，对于任一排列，记，求的值，并计算取到最小值时排列的数目.

8.“让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.

（1）证明：当，时，不等式成立，并指明取等号条件；

（2）已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：

（3）求证：.

2024年高一年级学科竞赛选拔性考试（自主招生校测）

数学

满分：100分考试时间：90分钟

本卷共五道填空题，三道大题，共计100分

一、填空题（每小题8分，共40分）

1.设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第i行的总和为，第i列的总和为.求的最大值______（答案用含a的式子表示）

【答案】

【分析】利用逐步调整法可得当取最大值，每个小方格中的数均为1或的情况.通过交换列，可不妨设可得每一行中的数全都相等，再设有行全为，有行全为1，.此时.利用数列的单调性可得当且仅当时成立，从而最大.

【详解】记，设方格表为，，，.

第一步：改变某个的值仅改变和，

设第行中除外其余个数的和为，第列中除外其余个数的和为，

则.

当时，关于递增，此时可将调整到，值不减.

当时，关于递减，此时可将调整到1，值不减.因此，为求的最大值，

只需考虑每个小方格中的数均为1或的情况.

第二步：设，，，只有有限多种可能，

我们选取一组使得达到最大值，并且最小.此时我们有（*）

事实上，若，而，则将改为后，行和及列和变为，，

则，则与达到最大矛盾，故.

若，而，则将改为1后，不减，且变小，与的选取矛盾.

从而（*）成立.

通过交换列，可不妨设，这样由（*）可知每一行中排在1的左边，

每一行中的数从左至右单调不增.由此可知.

因而只能，故每一行中的数全都相等（全为1或全为）.

第三步：由第二步可知求的最大值，可以假定每一行中的数全相等.

设有行全为，有行全为1，.此时.

我们只需求中的最大值.

.

因此（记）

.

记上式右边为，则.

下面证明

首先证明.

.

由于，

故.

再证明，等价于证明.

由于，，

只需证明，而，故结论成立.

由上面的推导可知当且仅当时成立，从而最大.

故.

故答案为：.

2.校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军，实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中最好，次之，…，最差，假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且当与比赛时，获胜的概率为p，其中，求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率为_______

【答案】

【分析】考虑一般情形：设倒数第k轮开始前剩下的选手恰好为，只需这名选手在前面的比赛中两两不能相遇，而且必须在其全部场比赛中获胜即可.

【详解】一般情形：求倒数第k轮开始前剩下的选手恰好为的概率.

要实现这一点，这名选手是种子选手，即在前面的比赛中两两不能相遇，而且必须在其

全部场比赛中获