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任意角三角函数学案
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1.2.1任意角的三角函数(1)
【学习目标】
1.能举例说明任意角的三角函数的定义;已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号;
2.通过对三角函数定义的探究,使同学们认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角
度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式,明白三角函数又是以实数为自变量的函数;
3.通过探究,明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用;提高同学们分析、探究、解决问题的能力,培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神.
【学习重点】
任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号
【难点提示】对用角的终边上的点的坐标(比值)来刻画三角函数的理解.
【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材结合进行自主学习(对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读)、小组讨论,积极思考提出更多、更好、更深刻的问题,为课堂学习做好充分的准备;
2.在学习过程中用好“十二字学习法”即:“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”,请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
【学习过程】一、学习准备
在前面我们学习了函数的概念、性质,一些特殊函数(包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识)的概念、性质,任意角的概念等,请同学们回顾后完成下列填空:
(1)函数的概念是;
(2)在中,设对边为,对边为,对边为,则sinA=、CosA=;tanA=;
(3)任意角指的是;象限角指的是;
(4)与同终边的角的集合S为;
(5)两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论?
(6)圆的概念怎样?圆的圆心可为原点吗?圆的半径可以取一个单位吗?
在(2)中显然是锐角的三角函数的定义,怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢?这就是我们本节课要研究的问题!
二、学习探究(一)三角函数定义
思考猜想我们对上面(2)中的锐角三角函数的定义作深入的思考,这个函数的定义域是什么?值域是什么?对应法则是什么?其中最为核心的什么?
那么在平面坐标系中确定一个任意角的大小与什么联系的最为紧密?是不是这个角的终边?终边又是什么构成的呢?是不是点?点是不是用坐标表示?
请同学们大胆猜想,能不能用任意角上任意一点P的坐标来定义的三角函数!
任意角三角函数学案全文共1页,当前为第1页。归纳概括在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点(除了原点)的坐标为,P到原点的距离为,过点P作X轴的垂线,设垂足为M,构造出.那么,我们类比锐角三角函数,可得:
任意角三角函数学案全文共1页,当前为第1页。
(1)比值叫做的正弦,记作,即;
(2)比值叫做的余弦,记作,即
(3)比值叫做的正切,记作,即
(请同学们用函数的概念判定上面三个式子能不能构成角的函数呢?链接1)
任意角三角函数定义:对于确定的值,在终边上取任意一点(除了原点)的坐标为,设P到原点的距离为,则比值、、分别角的正弦、余弦、正切,即:、、分别叫角的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数统称为三角函数.
阅读对比请同学们仔细阅读教材,比较教材上的定义与上面的定义有哪些区别与联系?教材中取得点是一个定点,上面的定义中取的什么点?结果一样嘛?为什么?(链接2)
快乐体验1.求下列各角的正弦、余弦、正切值.(请将结果填在表格中)
0
2.已知角的终边经过点,求的正弦、余弦、正切值.
解:
解后反思你能从这快乐体验中两道题的解答感悟到什么吗?如:各用什么方法求解的?用到什么数学思想?在第2题中满足的有多少角?这些角有何关系?
挖掘拓展(1)三角函数定义中的比值的大小与P点在终边上的位置无关;
(2)三角函数的定义域:的定义域、的定义域;
的定义域;(为什么?)
(3)三角函数的符号由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号可得:
①正弦,当在第象限是为正,当在第象限是为为负;
②余弦,当在第象限是为正,当在第象限是为为负;
③正切,当在第象限是为正,当
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