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高考数学复习压轴题型专题讲解与练习
专题22二项式定理
一、单选题
1.已知,则()
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项,再借助二项式性质即可得解.
【详解】
依题意,,
当时,,
于是得
.
故选:B
2.已知数列为有穷数列,共95项,且满足,则数列中的整数项的个数为()
A.13 B.14 C.15 D.16
【答案】C
【分析】
根据题意有均为整数,转化为,不难发现当时均为非负整数,验证当、时和是否为整数.
【详解】
解:由得,
要使为整数,必有均为整数,
所以,
当时均为非负整数,
所以为整数,共有14个,
当时,,
在中因数2的个数为
,
同理计算可得因数2的个数为82,因数2的个数为110,
故中因数2的个数为,
从而是整数,
当时,,
同理中因数2的个数小于10,
从而不是整数,
因此,整数项的个数为,
故选:C.
3.已知是数列的前n项和,若,数列的首项,则()
A. B. C.2021 D.
【答案】A
【分析】
通过对二项展开式赋值求解出的值,然后通过所给的条件变形得到为等差数列,从而求解出的通项公式,即可求解出的值.
【详解】
令,得.
又因为,所以.
由,得,所以,
所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以,
所以,所以.
故选:A.
4.设是常数,对于,都有,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
先令,求得的值,再将给定的恒等式两边求关于的导数,然后令,从而可得所求的值.
【详解】
因为,
则令可得.
又对两边求导可得:
,
令,
则,
所以,
所以
故,
所以.
故选:A.
5.已知当时,有,根据以上信息,若对任意都有,则()
A. B. C. D.以上答案都不对
【答案】B
【分析】
,分别根据
展开与,
再根据二项式定理的方法求解即可.
【详解】
,要得出的系数,可取
(1)①式中的乘以②式中的;
(2)①式中的乘以②式中的;
(3)①式中的乘以②式中的;
(4)①式中的乘以②式中的;
那么
故选B
6.展开式中常数项为().
A.11 B. C.8 D.
【答案】B
【分析】
将看成一个整体,得到,再展开得到
,分别取值得到答案.
【详解】
将看成一个整体,展开得到:
的展开式为:
取
当时,系数为:
当时,系数为:
常数项为
故答案选B
7.已知展开式中的系数小于90,则的取值范围为.
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
先将当做一项,写出的展开通项,结合题意分析,要想得到展开式中的项,只能是,和,然后分别讨论三种情况产生的的系数,将三种情况的系数相加即为原展开式中的系数,列出不等式,解出即可.
【详解】
解:因为展开式为
要想得到展开式中的项,只能是,和
当时,
二项式的展开通项
要想得到项,只能,此时的系数为
当时,
二项式的展开通项
要想得到项,只能,此时的系数为
当时,
二项式的展开通项
要想得到项,只能,此时的系数为
所以展开式中的系数为
所以,解得
故选B.
8.的展开式中,的系数为
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
分析:题中为独立项,所以展开式中含的为,其中中的系数为展开式中与的系数差.最后再将两部分系数相乘即得所求.
详解:由,
得含的项为,
中的项为
系数为
故选B.
9.已知(),设展开式的二项式系数和为,(),与的大小关系是
A.
B.
C.为奇数时,,为偶数时,
D.
【答案】C
【详解】
试题分析:由
可令得;
可令得;,
,而二项式系数和
则比较易得;为奇数时,,为偶数时,
10.若,则
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
试题分析:因为,
所以,
令,则,;
所以,选D.
11.已知展开式的常数项的取值范围为,且恒成立.则的取值范围为()
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】
由二项展开式通项结合已知条件可求得实数的取值范围,再由恒成立结合参变量分离法可求得实数的取值范围,综合可得出结果.
【详解】
展开式的通项为,
令,可得,所以,展开式中的常数项为,
解得或,
令,其中,可得.
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,
由可得,其中,
构造函数,其中,
则,
令,其中,则.
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增.
所以,.
所以,当时,,此时函数单调递减
当时,,此时函数单调递增.
所以,,.
综上所述,实数的取值范围是.
故选:D.
12.的展开式中的系数为()
A. B. C.120 D.
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