东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2024届高考 数学四模试卷.docx

2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，x，，则(????)

A.2 B.3 C.4 D.5

2.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则(????)

A.0 B.2 C. D.

3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为(????)

注：若，，，

A. B. C. D.

4.等差数列的前n项和记为，若，，则(????)

A.51 B.102 C.119 D.238

5.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是(????)

A. B. C. D.

6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是(????)

A. B. C.2 D.3

7.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：

下列结论正确的是(????)

A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5

B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7

C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了

D.2023年该校不上线的人数有所减少

8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为(????)

A.

B.

C.

D.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是(????)

A.若，则为钝角三角形

B.若，，，则的面积为

C.在锐角中，不等式恒成立

D.若，，且有两解，则b的取值范围是

10.已知函数，则下列说法正确的是(????)

A.的极值点为

B.的极值点为1

C.直线是曲线的一条切线

D.有两个零点

11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是(????)

A.4为的一个周期 B.8为的一个周期

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知，则______.

13.命题任意“，”为假命题，则实数a的取值范围是______.

14.已知数列满足，则______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分

如图，长方体中，，，为的中点.

求直线与直线AE所成角的余弦值；

求点到直线AE的距离.

16.本小题15分

如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，，，为正三角形，设

Ⅰ当时，求AC；

Ⅱ当变化时，求四边形ABCD面积的最大值.

17.本小题15分

如图，已知椭圆和抛物线，的焦点F是的上顶点，过F的直线交于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交于A、B两点，连接AB，设、的面积分别为、

求p的值；

求的值；

求的取值范围.

18.本小题17分

2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会.某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图.

根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；

性别

是否喜欢羽毛球运动

合计

是

否

男生

女生

合计

已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值.

附：

参考公式：

，其中

19.本小题17分

已知，

Ⅰ当时，求在处切线方程；

Ⅱ若在恒成立，求a的取值范围；

Ⅲ求证：

答案和解析

1.【答案】C?

【解析】解：，

，

，，

故选：

根据条件得出，再根据复数的乘法运算可得出，然后即可求出的值．

本题考查了复数的乘法运算，是基础题．

2.【答案】A?

【解析】解：，是夹角为的两个单位向量，

则，，

与垂直，

则，即，解得

故选：

结合向量垂直的性质，即可求解．

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

3.【答案】A?

【解析】解：由题意可知，，，可得，，

净重在179g与之间的概率为，

由正态分