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哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学
2024年高三第四次联合模拟考试
数学试卷
注意事项:
1、答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,,则(???)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若,是夹角为的两个单位向量,与垂直,则(???)
A.0 B.2 C. D.
3.某种酸奶每罐净重(单位:g)服从正态分布.随机抽取1罐,其净重在与之间的概率为(???)
(注:若,,,)
A.0.8186 B.0.84135 C.0.9545 D.0.6827
4.等差数列的前项和记为,若,,则(???)
A.51 B.102 C.119 D.238
5.过点作圆的切线,为切点,,则的最大值是(???)
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左,右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,为的内心,记,,的面积分别为,,,且满足,则双曲线的离心率是(????)
A. B. C.2 D.3
7.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况,得到如图所示扇形统计图:
??
下列结论正确的是(???)
A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5
B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7
C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%
D.2023年该校不上线的人数有所减少
8.如图,在棱长为2的正方体中,已知,,分别是棱,,的中点,为平面上的动点,且直线与直线的夹角为,则点的轨迹长度为(???)
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.对于有如下命题,其中正确的是(????)
A.若,则为钝角三角形
B.若,则的面积为
C.在锐角中,不等式恒成立
D.若且有两解,则的取值范围是
10.已知函数,则下列说法正确的是(???)
A.的极值点为
B.的极值点为1
C.直线是曲线的一条切线
D.有两个零点
11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且,则下列说法中正确的是(???)
A.4为的一个周期 B.8为的一个周期
C. D.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知,则.
13.命题“任意,”为假命题,则实数的取值范围是.
14.已知数列满足,,则.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.如图,长方体中,,,.为的中点.
(1)求直线与直线所成角的余弦值;
(2)求点到直线的距离.
16.如图,在平面内,四边形满足,点在的两侧,,,为正三角形,设.
??
(1)当时,求;
(2)当变化时,求四边形面积的最大值.
17.如图,已知椭圆和抛物线,的焦点是的上顶点,过的直线交于、两点,连接、并延长之,分别交于、两点,连接,设、的面积分别为、.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)求的取值范围.
18.2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行,亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会.某校想趁此机会带动学生的锻炼热情,准备开设羽毛球兴趣班,在全校范围内采用简单随机抽样的方法,分别抽取了男生和女生各100名作为样本,调查学生是否喜欢羽毛球运动,经统计,得到了如图所示的等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图,填写下列列联表,并依据的独立性检验,推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联;
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
(2)已知该校男生与女生人数相同,将样本的频率视为概率,现从全校学生中随机抽取30名学生,设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X,求取得最大值时的值.
附:
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式:
,其中.
19.已知
(1)当时,求在处切线方程;
(2)若在恒成立,求的取值范围;
(3)求证:.
1.C
【分析】根据条件得出,再根据复数的乘法运算可得出,然后即可求出的值.
【详解】解:,,
,,.
故选:C.
2.A
【分析】由
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