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考向16利用导数研究函数的极值与最值
【2022·全国·高考真题(理)】当时,函数取得最大值,则(???????)
A. B. C. D.1
答案:B
【解析】因为函数定义域为,所以依题可知,,,而,所以,即,所以,因此函数在上递增,在上递减,时取最大值,满足题意,即有.
故选:B.
【2022·全国·高考真题(文)】函数在区间的最小值、最大值分别为(???????)
A. B. C. D.
答案:D
【解析】,
所以在区间和上,即单调递增;
在区间上,即单调递减,
又,,,
所以在区间上的最小值为,最大值为.
故选:D
1.由图象判断函数的极值,要抓住两点:(1)由的图象与x轴的交点,可得函数的可能极值点;(2)由导函数的图象可以看出的值的正负,从而可得函数的单调性.两者结合可得极值点.
2.已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.
3.求函数在闭区间内的最值的思路
(1)若所给的闭区间不含有参数,则只需对函数求导,并求在区间内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)若所给的闭区间含有参数,则需对函数求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数的最值.
(1)若函数在区间D上存在最小值和最大值,则
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
(2)若函数在区间D上不存在最大(小)值,且值域为,则
不等式在区间D上恒成立.
不等式在区间D上恒成立.
(3)若函数在区间D上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
(4)若函数在区间D上不存在最大(小)值,如值域为,则对不等式有解问题有以下结论:
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
(5)对于任意的,总存在,使得;
(6)对于任意的,总存在,使得;
(7)若存在,对于任意的,使得;
(8)若存在,对于任意的,使得;
(9)对于任意的,使得;
(10)对于任意的,使得;
(11)若存在,总存在,使得
(12)若存在,总存在,使得.
1.函数的极值
函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极大值,记作.如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极小值,记作.极大值与极小值统称为极值,称为极值点.
求可导函数极值的一般步骤
(1)先确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)求方程的根;
(4)检验在方程的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在右侧附近为正,那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是:是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件,如,,但不是极值点.另外,极值点也可以是不可导的,如函数,在极小值点是不可导的,于是有如下结论:为可导函数的极值点;但为的极值点.
2.函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者;函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
导函数为
(1)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
(2)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
一般地,设是定义在上的函数,在内有导数,求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行:
(1)求在内的极值(极大值或极小值);
(2)将的各极值与和比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况,是局部函数值的比较,故极值不一定是最值;函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值;
②函数的极值点必是开区间的点,不能是区间的端点;
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1.(2023·山西太原·三模(文))已知函数
(1)若在时取得极小值,求实数k的值;
(2)若过点可以作出函数的两条切线,求证:
2.(2023·湖北·模拟预测)已知函数,().
(1)若存在两个极值点,求实数的取值范围;
(2)若,为的两个极值点,证明:.
3.(2023·河南郑州·高三阶段练习(文))已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在处取得极值,求的单调区间及其最大值与最小值.
4.(2023·全国·高三专题练习(理))已知函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)若,,求的最大值.
5.(2023·
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