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考点突破练3三角函数与解三角形

1.(2024·河南开封一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(acosC+ccosA)=a+c.

(1)求证:a,b,c成等差数列;

(2)若等差数列a,b,c的公差为a2,求cosB

2.(2024·北京海淀一模)设函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x(A∈R).已知存在A使得f(x)同时满意下列三个条件中的两个:条件①:f(0)=0;条件②:f(x)的最大值为2;条件③:x=π8是f(x)图象的一条对称轴

(1)请写出f(x)满意的两个条件,并说明理由;

(2)若f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,求m的取值范围.

3.(2024·安徽蚌埠质检)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知bcosC+ccosB+3atan(A+C)=0.

(1)求B;

(2)若S=932,c=6,求

4.(2024·广西柳州三模)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知3bsinπ2+A=asinB.

(1)求角A的大小;

(2)若b,a,c成等比数列,推断△ABC的形态.

5.(2024·广东茂名一模)如图所示,遥感卫星发觉海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(303-30)海里处有一个小岛C.

(1)求小岛A到小岛C的距离;

(2)假如有游客想干脆从小岛A动身到小岛C,求游船航行的方向.

6.(2024·北京信息题)在△ABC中,B=π3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17

(1)sin∠BAD;

(2)BD,AC的长.

7.(2024·安徽高考冲刺)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acosB=2c+b.

(1)求A;

(2)若a=4,b+c=32,求△ABC的面积.

8.(2024·陕西西安四区县联考)已知锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2B-sin2C)

(1)求sinC;

(2)若c=3,求△ABC周长的取值范围.

考点突破练3三角函数与解三角形

1.(1)证明由已知及正弦定理,

得2(sinAcosC+sinCcosA)=sinA+sinC,

即2sin(A+C)=sinA+sinC,

∴2sinB=sinA+sinC,

再由正弦定理,得2b=a+c,∴a,b,c成等差数列.

(2)解∵等差数列a,b,c的公差为a2

∴b=3a2,c=2

cosB=a2

2.解(1)函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x=sin2x+Acos2x=1+A2sin(2x+φ)tanφ=A,φ∈-π2,π

对于条件①:若f(0)=0,则A=0,对于条件②:f(x)max=2,则1+A2=

①②不能同时成立,当A=0时,fπ8=22≠±1,即不满意条件③,即①③不同时成立;

当A=1时,f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+π4,

fπ8=2,即满意条件③;

当A=-1时,f(x)=sin2x-cos2x=2sin2x-π4,

fπ8=0,即不满意条件③.

综上可得,存在A=1满意条件②③.

(2)由(1)得f(x)=2sin2x+π4,

当0xm时,π42x+π42m+

∵f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,

由fπ4=2sin3π4=1

∴f2m+π40,

则π2m+π4≤2π,解得3π8m

即m的取值范围是3π8,

3.解(1)由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=-3sinAtan(A+C),

∴sin(B+C)=-3sinAtan(π-B),sinA=3sinAtanB,

∵0Aπ,∴sinA≠0,∴tanB=33

∵0Bπ,∴B=π6

(2)∵S=12acsinB=932,∴a=

由b2=a2+c2-2accosB,

得b2=27+36-363×32=9,∴

4.解(1)∵3bsinπ2+A=asinB,

由正弦定理得3sinBcosA=sinAsinB,

∵sinB≠0,∴3cosA=sinA,∴tanA=3,

∵A∈(0,π),∴A=π3

(2)∵b,a,c成等比数列,

∴a2=bc,

又∵cosA=b2

∴b2+c2-bc=bc,

∴(b-c)2=0,∴b=c,

又∵A=π3,∴△ABC为等边三角形

5.解(1)在△ABC中,AB=60,BC=303-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,

依据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(303-30)2-2×60×(303-30)·cos120°=5400.